On the continued fraction expansion of series along decreasing powers of the variable (Q1528842)

In den früheren Abhandlungen: ``Ueber die Darstellung der Grenzwerte der Integrale mit Hülfe der Residuen'' (F. d. M. XVII. 1885. 172, JFM 17.0172.01) und: ``Ueber die Summen, welche aus den Werten der einfachsten Monome, mit einer beständig positiv bleibenden Function multiplicirt, gebildet sind'' (F. d. M. XXIII. 1891. 418, JFM 23.0418.01) hat der Verfasser gezeigt, dass die Grenzwerte der Integrale und der Summen mit Hülfe der Näherungsbrüche der Kettenbruchentwickelung der Reihe \(\frac{C_0}{x}+\frac{C_1}{x^2}+\cdots\) sich finden lassen; aber die allgemeinen Formeln für diese Näherungsbrüche erhält man nur in Ausnahmefällen. In der vorliegenden Abhandlung nun wird der allgemeine Fall betrachtet und das folgende Theorem bewiesen: ``Wenn die Reihe \(\frac{C_0}{x}+\frac{C_1}{x^2}+\frac{C_2}{x^3}+\cdots\) in einen Kettenbruch: \[ \frac{1}{\alpha_1x+\beta_1}_{\textstyle{-\frac{1}{\alpha_2x+\beta_2}_{\textstyle{\frac{1}{\alpha_3x+\beta_3}}_{\textstyle{-\cdots-}}}}} \] entwickelt ist, wo \(\alpha_1> 0\), \(\alpha_2 > 0,\cdots,\alpha_m>0\) und alle Wurzeln der Gleichungen \(\psi_1(x)=0\), \(\psi_2(x)=0,\dots,\psi_m(x)=0\), deren linke Seiten die Nenner ihrer \(m\) Näherungsbrüche \[ \frac{\varphi_1(x)}{\psi_1(x)},\;\frac{\varphi_2(x)}{\psi_2(x)},\;\frac{\varphi_m(x)}{\psi_m(x)} \] bilden, positiv sind, so findet dasselbe statt bei derselben Zahl \(m\) in Bezug auf den Kettenbruch, der aus der Zerlegung der Reihe \(\frac{C_0}{x}+\frac{C_1}{x^2}+\cdots\) und ihrer \(m\) ersten Näherungsbrüche in dem Falle entsteht, wenn die Coefficienten \(C_0, C_1, C_2,\dots, C_{2m-1}\) nicht in die Grenzen: \[ \begin{aligned} & c_0-\frac{1}{H_0},\quad c_1-\frac{h}{H_0}\,\quad c_2-\frac{h^2}{H_0}\,,\cdots, c_{2m-1}-\frac{h^{2m-1}}{H_0}\,\\ & c_0+\frac{1}{H_0}\,,\quad c_1+\frac{h}{H_0}\,,\quad c_2+\frac{h^2}{H_0}\,,\cdots, c_{2m-1}+\frac{h^{2m-1}}{H_0}\end{aligned} \] übergehen; \(h\) ist hier eine willkürliche positive Grösse, \(H_0\) eine positive Grösse, grösser als die Summe \[ \frac{h^m-1}{h-1}\;L^{(m)}+\frac{\psi_m(-h)}{\psi_m(0)}\;L^{(m)}_0, \] wo \(L^{(m)}\) die höchste Grenze der Zahlenwerte der Coefficienten des Polynoms \[ \frac{\psi_{m-1}(-h).\psi_,(x)-\psi_m(-h).\psi-{m-1}(-x)}{x+h} \] und \(L^{(m)}_0\) das constante Glied dieses Polynoms ist''.