Note on the series \(\sum_1^\infty\;\frac{1}{n^s}\). (Q1528932)

Die Reihe \(\sum^\infty_1\;\frac{1}{n^s}\), worin \(s= a+bi\), ist 1) absolut convergent, \(a>1\); 2) endlich, aber unbestimmt, wie der Ausdruck \(\lim_{x=\infty}\;\frac1b (\sin bLx+i\cos bLx)\), wenn \(a=1\), \(b\gtrless 0\); 3) divergent, wenn \(a=1\), \(b= 0\) oder \(a <1\), \(b\) beliebig. Es wird sodann gezeigt, dass der Geltungsbereich der Reihe von \(a > 1\) auf \(a > 0\) erweitert werden kann, und sodann werden einige Eigenschaften der Riemann'schen Function \[ \begin{aligned} \zeta(s) & = \frac{1}{s-1}+\tfrac12+\tfrac12\,B_1s-\frac{B_2}{1.2.3.4}\;s(s+1)(s+2)+\cdots\\ & +(-1)^{p-2}\;\frac{B_{p-1}}{1.2.3\dots(2p-2)}\;s(s+1)\dots(s+2p-4)\\ & \qquad -s(s+1)\dots(s+2p-1)\sum^\infty_1\int^1_0\;\frac{\varphi_{2p-1}(u)}{(n+1-u)^{s+2p}}\;du\end{aligned} \] abgeleitet.