Sur la définition de la dérivée. (Q1528943)

In dieser Note vergleicht der Verf. die beiden folgenden Definitionen der Ableitung: A. Die Ableitung von \(f(x)\) ist die Grenze von \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) wenn \(h\) bei endlichem \(x\) der Null zustrebt. B. Die Ableitung von \(f(x)\) ist die Grenze des Verhältnisses \(\frac{f(x_2)f(x_1)}{x_2-x_1}\), wenn \(x_1\) und \(x_2\), einem und demselben Werte \(x\) zustreben. Geht man von der Definition A aus, so begreift man die Fälle ein, in denen die Ableitung unstetig ist; bei Annahme der Definition B schliesst man sie aus. Hr. Peano ist der Meinung, dass es bei den elementaren Unterricht vielleicht vorzuziehen sei, jene Unstetigkeitsfälle auszuschliessen, indem man die Definition B annehme. Wenn die Ableitung einer Function nicht vorhanden ist, so sind gemäss der Definition B immer zwei Functionen vorhanden, die ihre Rolle übernehmen, und von denen der Verf. einige Eigenschaften angiebt.