Zur Theorie der Maxima und Minima der Functionen von \(n\) Variabeln. (Q1528956)

Die Frage, ob die Function \(f(x_1,x_2,\dots,x_n)\) an der Stelle \(a_1,a_2,\dots,a_n\) ein Maximum oder Minimum besitzt, ist bekanntlich unmittelbar zu beantworten, wenn die zweite Variation, d. h. die Glieder zweiter Ordnung in der Taylor'schen Entwickelung von \(f(a_1+k_1,\dots,a_n+k_n)-f(a_1,\dots,a_n)\), eine definite oder indefinite Form bilden. Eine Schwierigkeit tritt erst ein, wenn die zweite Variation semidefinit ist. Auf diesen Fall, jedoch unter der Voraussetzung, dass die vierte Variation keine weitere Singularität darbietet, bezieht sich die Untersuchung des Verfassers. Soll ein Maximum oder Minimum eintreten, so muss zunächst für diejenigen Werte von \(k_1,k_2,\dots,k_n\), für welche die zweite Variation Null wird, auch die dritte Variation verschwinden. Dazu tritt dann noch eine auf das Vorzeichen der vierten Variation bezügliche Bedingung. Der ganzen Untersuchung liegt die folgende Definition des Minimums zu Grunde: Die Function \(f(x_1,\dots,x_n)\) hat an der Stelle \(a_1,\dots,a_n\) ein Minimum, wenn für alle mit \(t\) verschwindenden Potenzreihen \(\varphi_1(t),\dots,\varphi_n(t)\) die Function \(f(a_1+\varphi_1(t),\dots,a_n+\varphi_n(t))\) an der Stelle \(t = 0\) ein Minimum besitzt. Ob diese Definition sich mit der gewöhnlichen deckt, muss dahingestellt bleiben.