Zum Fundamentalsatz über die Existenz von Integralen partieller Differentialgleichungen. (Q1529023)

In der obigen Abhandlung wird untersucht, unter welchen Bedingungen eine partielle Differentialgleichung Potenzreihen als Integrale besitzt. Es wird zunächst das unendliche Differentialgleichungssystem : \[ \frac{dz_\nu}{dx} = f_\nu(x,z_1,z_2,\dots)\quad (\nu=1,\dots,\infty), \] worin die \(f\) Potenzreihen bedeuten, darauf hin untersucht, wann für die \(z_\nu\) sich Potenzreihen in \(x\) als Integrale finden lassen. Als Ausgangspunkt wird das System \[ \frac{dz_\nu}{dx} = \sum^{\infty}_{0}a^{(\nu)}_\mu z_\mu \] gewählt, worin \(a^{(\nu)}_\mu\) lauter positive Coefficienten bedeuten und 1 für \(z_0\) zu setzen ist, und es wird gezeigt, dass Integrale der Form \[ z_\nu=\sum^{\infty}_{1}C^{(\nu)}_\mu x^\mu \] existiren, wenn die formal stets herstellbaren Potenzreihen für \(z_\nu\) eine gewisse, den Convergenzkreis betreffende Bedingung erfüllen. Hierauf stützt sich der Beweis des Satzes: Damit das allgemeine System \[ \frac{dz_\nu}{dx}=\sum^{\infty}_{\lambda=0} \sum^{\infty}_{\mu=0}\alpha^{(\nu)}_{\lambda\mu} x^\mu z_\lambda \] sich vermittelst Potenzreihen integriren lasse, ist notwendig und hinreichend, dass alle \(\alpha\) kleiner sind als die entsprechenden Coefficienten eines Systems \[ \frac{dz_\nu}{dx}=\sum^{\infty}_{0}b^{(\nu)}_\lambda z_\lambda.\sum^{\infty}_{0}R^\mu x^\mu, \] worin \(R\) in allen Gleichungen dieselbe positive Zahl und die \(b\) derartige positive Constanten sind, dass das System \[ \frac{dz_\nu}{dx}=\sum^{\infty}_{0}b^{(\nu)}_\lambda z_\nu \] in Potenzreihen entwickelbare Integrale hat. Im zweiten Abschnitt wird gezeigt, wie man die partielle Differentialgleichung \[ \frac{dz}{dx}=f\left(x,y,z,\frac{\partial z}{\partial y}\right) \] ersetzen kann durch das unendliche System totaler Differentialgleichungen \[ \begin{aligned} & \frac{dz_0}{dx}=f\left(x,y_0,z_0,\frac{z_1-z_0}{\varDelta y}\right),\\ & \frac{dz_1}{dx}=f\left(x,y_0+\varDelta y,z_1,\frac{z_2-z_1}{\varDelta y}\right),\\ & \hdotsfor1\,,\end{aligned} \] wenn man annimmt, dass \(\varDelta y\) unendlich klein wird. Auch für den Fall, dass höhere Differentialquotienten von \(z\) vorkommen, lässt sich ein ähnliches System finden, und diese Systeme werden in der oben angedeuteten Weise untersucht. Als Anwendungen der Methode betrachtet der Verf. erst die Gleichung \[ \frac{\partial z}{\partial x}=f(x,y)+f_0(x,y).z+f_1(x,y)\cdot \frac{\partial z}{\partial y}\,, \] welche stets als Integral eine Potenzreihe von \(x\) und \(y\) zulässt, sobald \(f,f_0,f_1\) Potenzreihen sind, und dann die allgemeinere Gleichung \[ \frac{\partial z}{\partial x}=f\left(x,y,z,\frac{\partial z}{\partial y}\,,\frac{\partial^2z}{\partial y^2}\right)\,. \]