Erweiterung eines Pfaff'schen Satzes auf simultane totale Differentialgleichungen erster Ordnung und Integration einer Klasse von simultanen partiellen Differentialgleichungen. (Q1529057)

Das System von \(p\) simultanen Differentialgleichungen erster Ordnung \[ U^\varrho=a^\varrho_1dx_1+\cdots+a^\varrho_ndx_n\quad (\varrho=1,2,\dots,p; p<n), \] wo \(a^\varrho_s\) Functionen von \(x\) bedeuten, soll vermittelst eines Grössensystems \(\lambda^i_k\) dessen Determinante \(\varDelta\) von Null verschieden sei, auf ein System von \(n-1\) Variabeln reducirt werden, sodass die \(p\) Identitäten stattfinden: \[ \lambda^1_\varrho U^1+\lambda^2_\varrho U^2+\cdots+\lambda^p_\varrho U^p=\alpha^\varrho_1dy_1+\cdots+\alpha^\varrho_{n-1}dy_{n-1} \] \[ (\varrho = 1,\dots,p), \] wo die Grössea \(\lambda^i_k\), \(\alpha^i_k\) und \(y_i\) Functionen von \(x_1,\dots,x_n\) bedeuten und die Coefficienten \(\alpha^i_k\) Functionen von \(y_1,\dots,y_{n-1}\) sein sollen. Diese Reduction ist nur unter gewissen Bedingungen zwischen den Coefficienten möglich, bei deren Ableitung die Fälle \(p+n\) ungerade und gerade sich wesentlich verschieden zeigen. Bezeichnet man: \[ \frac{\partial a^\varrho_i}{\partial x_s} -\frac{\partial a^\varrho_s}{\partial x_i}=a^\varrho_{is}, \] so erhält man im ersten Fall für \(\varrho=1,\dots,p\) die Gleichungen: \[ \begin{vmatrix} a^\varrho_{\sigma 1} & \dots & a^\varrho_{\sigma n}-a^1_\sigma & \dots & -a^p_\sigma\\ a^s_1 & \dots & a^s_n\qquad 0 & \dots & 0\\ \frac{\partial y}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y}{\partial x_n}\quad\;0 & \dots & 0\end{vmatrix}=0\qquad \left(\begin{aligned} & \sigma = 1,2,\dots,n\\ & s=1,2,\dots,p\end{aligned}\right), \] worin eine Zeile, z. B. \(a^\varrho_1\dots a^\varrho_n\;0\dots 0\), auszulassen ist. Diese Determinanten ergeben \(p\) partielle Differentialgleichungen: \[ A^\varrho_{(y)}=A^\varrho_1\;\frac{\partial y}{\partial x_1}+\cdots+A^\varrho_n\;\frac{\partial y}{\partial x_n}=0\qquad (\varrho=1,\dots, p). \] Damit obige Reduction möglich sei, müssen diese Gleichungen dieselben Lösungen \(y_1,\dots,y_{n-1}\) besitzen, und hieraus ergeben sich die Bedingungen: \[ \frac{A^\varrho_1}{A^1_1}=\frac{A^\varrho_2}{A^1_2}=\cdots =\frac{A^\varrho_n}{A^1_n}\qquad (\varrho=2,\dots,p). \] Die Anzahl dieser Bedingungen kann auf \((p-1)(n-p-1)\) von einander unabhängige reducirt werden. Im zweiten Fall ist die Reduction in der obigen Weise nicht möglich; dagegen erhält man: \[ \lambda^1_k U^1+\cdots+\lambda^p_k U^p=V_\lambda dx_1+a^k_2dy_2+\cdots+\alpha^k_{n-1}dy_{n-1}, \] wo \[ V_k=\lambda^1_ka^1_1+\cdots+\lambda^p_ka^p_1-\left(\alpha^k_2\;\frac{\partial y_2}{\partial x_1}+\cdots+ \alpha^k_{n-1}\;\frac{\partial y_{n-1}}{\partial x_1}\right) \] zu setzen ist. Hierauf wird der Fall behandelt, dass unter den \(x_1,\dots,x_n\) mehrere Bedingungsgleichungen bestehen, und alsdann diese Reduction zur Integration des partiellen Differentialgleichungssystems erster Ordnung benutzt: \[ \varphi_k(u^1,\dots,u^p,\;x_1,\dots,x_m,\;u^1_1,\dots,u^1_m,\dots,u^p_1,\dots,u^p_m) = a_k \] \[ (k = 1,\dots,p), \] wo \(u^r_s=\frac{\partial u_r}{\partial x_s}\) ist, und als Beispiel wird der Fall behandelt, dass \(\varphi_k\) die Variabeln \(u^1,\dots,x_m\) beliebig, aber nur die Derivirten von \(u^k\) enthält. Zum Schluss werden die Factoren \(\lambda^i_k\) und deren Determinante \(\varDelta\) ermittelt.