On systems of higher complex numbers. (Q1529076)

Es handelt sich um die schon mehrfach (erst neuerdings wieder von Peirce, Scheffers, Study u. a.) behandelte Aufgabe, die Zahlensysteme in sachgemässer Weise zu klassificiren und aufzuzählen, für welche die Addition das associative und commutative Gesetz befolgt, die Multiplication das associative und beiderseitig distributive (nicht aber notwendig das commutative). Es liegt nahe, zu dem Zwecke ein Zahlensystem auf eine Normalform zu bringen, mit deren Hülfe eine Vergleichung irgendwie vorgelegter Zahlensysteme unmittelbar ermöglicht wird. Um eine derartige theoretisch wie praktisch möglichst geeignete Normalform zu gewinnen, wird ein eigenartiger Weg eingeschlagen. Zunächst werden die wichtigen Begriffe von begleitenden und von ursprünglichen Zahlensystemen entwickelt. Seien \(e_1,e_2, \dots, e_n\) die Grundzahlen eines Zahlensystems, so besitzt irgend eine Zahl \(x\) des Systems die Form \(x=x_1e_1+x_2e_2+\cdots+x_ne_n\), wo die ``Parameter'' \(x_i\) gewöhnliche complexe Zahlen bedeuten. Die Addition zweier Zahlen des Systems deckt sich mit der Addition der entsprechenden Parameter. Da für die Multiplication das distributive Gesetz gelten soll, so muss das Product \(x\) zweier Zahlen \(x, u\) des Systems eine Zahl sein, deren Parameter aus den Parametern der beiden Factoren bilinear (mit constanten Coefficienten \(a\)) gebildet sind. Diese Gleichungen heissen die ``Productgleichungen'' des Systems; damit die Multiplication associativ und noch die Division eine im allgemeinen eindeutige sei, haben die Constanten a gewissen Gleichungen und Ungleichungen zu genügen, die ein für allemal als erfüllt angesehen werden sollen. An Stelle der Grundzahlen \(e\) können ebensoviel linear unabhängige Zahlen \(e\) des Systems gewählt werden. Es kann nun der Fall eintreten, dass bei geeigneter Wahl der Grundzahlen eines vorgelegten Systems die \(\nu\) ersten Parameter des Productes zweier Zahlen bloss mit Hülfe der \(\nu\) ersten Parameter der Factoren bilinear gebildet sind; dann ergiebt sich leicht, dass dies die Productgleichungen eines neuen Zahlensystems sind, welches als ein das gegebene ``begleitendes'' bezeichnet wird. Ein Zahlensystem, das, ausser sich selbst, kein begleitendes besitzt, heisst ein ``ursprüngliches'' Zahlensystem. Solche sind z. B. die Hamilton'schen Quaternionen und die Sylvester'schen Nonionen. Die Kenntnis der begleitenden ursprünglichen Systeme vermittelt nicht nur diejenige aller begleitenden Systeme, sondern ist auch für die Untersuchung der Structur des Zahlensystems von entscheidender Bedeutung. Die ursprünglichen Systeme stehen nämlich zu einigen andern bekannten Fundamentalbegriffen in der innigsten Beziehung. Dahin gehören vor allem die ``charakteristischen Gleichungen'' und die ``Ranggleichung''. Damit die Gleichung \(\omega x = xu\), resp. \(\omega x = ux\) besteht, wo \(\omega\) eine gewöhnliche Grösse bedeutet, muss \(\omega\) je einer Gleichung \(n^{\text{ten}}\) Grades genügen; dies sind die beiden charakteristischen Gleichungen des Zahlensystems. Ersetzt man hier die Potenzen von \(\omega\) durch die gleich hohen Potenzen von \(u\), so erhält man jedesmal eine Identität. Die beiden so entstehenden Relationen sind jedoch nicht unabhängig von einander; unter den positiven Potenzen von \(u\) muss es eine kleinste, \(m^{\text{te}}\) geben, die sich linear durch die niedrigeren Potenzen von \(u\) ausdrücken lässt. Die bezügliche Gleichung, ein Teiler der beiden obigen, heisst die Ranggleichung. Wir heben hier nur das eine, für die Herstellung der Normalform wichtige Ergebnis hervor, dass die Anzahl der Grundzahlen eines ursprünglichen Zahlensystems gleich dem Quadrat des Grades der Ranggleichung ist. Die Normalform eines ursprünglichen Zahlensystems selbst ist dadurch charakterisirt, dass die ``Productgleichungen'' die Gestalt annehmen: \(a_{ik}'= \sum_l x_{il} u_{lk}\) \((i, k, l= 1, 2, \dots, n)\), also etwa im Fall \(m = 2\): \[ x_{11}'=x_{11} u_{11}+x_{12}u_{21},\quad x_{12}'=x_{11}u_{12}+x_{12}u_{22},\quad x_{21}'=x_{21}u_{11}+x_{22}u_{21}, \] \[ x_{22}'=x_{21}u_{12}+x_{22} u_{22}. \] Ein beliebiges Zahlensystem wird aus ursprünglichen zusammengesetzt. Obwohl eine Reihe von Hauptsätzen, auch der Gebrauch der Normalform, nicht neu ist, so verdient doch hervorgehoben zu werden, dass sich der Verf. zu ihrer Ableitung der Lie'schen Gruppentheorie nicht bedient. Die letztere dient, wie die Cayley'sche Theorie der Matrizen, hinterher zur Illustration und durchsichtigeren Präcisirung der erhaltenen Resultate. Beispiele sind, wohl um den Umfang der Arbeit nicht zu stark werden zu lassen, unterdrückt worden.