On the generation of recurrent systems with the aid of a linear differential equation. (Q1529096)

Den Hauptinhalt der Arbeit bildet die Entwickelung einer gegebenen Function in eine Reihe, welche nach Functionen eines recurrenten Systems fortschreitet, dessen Recursionsformel bekannt ist. -- Zu diesem Zwecke betrachtet der Verf. eine recurrente lineare Gleichung zwischen \(p+1\) Grössen, welche von einem Index \(n\) abhängen; die Coefficienten derselben sind ganze Polynome in \(n\) vom Grade \(m\). Eine Lösung dieser Gleichung hat zur erzeugenden Function (im Laplace'schen Sinne) ein Integral einer linearen Differentialgleichung \(m^{\text{ter}}\) Ordnung, deren rechte Seite im allgemeinen ein ganzes Polynom ist, welches \(m\) willkürliche Constanten enthält. Jeder Bestimmung dieser Constanten entspricht eine particuläre Lösung der recurrenten Gleichung. Insbesondere existirt eine Bestimmung der Constanten, für die das recurrente System eine erzeugende Reihe besitzt, welche in einem möglichst grossen Kreise convergirt: dieses System nennt der Verf. das ausgezeichnete Integral, ``intégrale distinguée'', der recurrenten Gleichung, und er bestimmt dasselbe durch eine Methode, welche sich auf eine von ihm die ``Heine'sche'' genannte Transformation gründet. Neben der gegebenen recurrenten Gleichung betrachtet der Verf. eine zweite, welche er die inverse der ersten nennt, und deren Integrale mit denen der gegebenen Gleichung bemerkenswerte Relationen besitzen. -- Verf. nimmt nun an, dass in die Coefficienten der recurrenten Gleichung ein Parameter \(x\) im ersten Grade eintritt; die Integrale dieser Gleichung, ebenso wie die ihrer inversen, sind dann Functionen dieses Parameters, und es gelingt dem Verf., eine gegebene analytische Function in eine Reihe zu entwickeln, welche nach den Functionen dieses Systems fortschreitet: mit Hülfe des ausgezeichneten Integrals der inversen Gleichung bildet er die Coefficienten dieser Reihenentwickelung und giebt auch ihre Convergenzbedingungen an. -- Diese Entwickelung stellt sich dar als die Verallgemeinerung der Entwickelung einer gegebenen Function in eine Reihe, welche nach den Nennern der reducirten Näherungsbrüche eines gegebenen algebraischen Kettenbruches fortschreitet; eine solche hat bereits Heine aufgestellt (Handbuch der Kugelfunctionen. 2. Aufl. Bd. I. 293), jedoch ohne Angabe der Convergenzbedingungen. -- Als Ausgangspunkt diente dem Verf. die Arbeit von Poincaré ``Sur les équations linéaires aux différentielles etc.'' (American J. VII. 203, F. d. M. XVII. 1885. 290, JFM 17.0290.01).