On the representation of Fuchsian functions of the first family by infinite products. (Q1529135)

Das Endergebnis einer früheren Arbeit des Verfassers (ebenda, Bd. I, F. d. M. XXII. 1890. 425, JFM 22.0425.01) war die Darstellung einer innerhalb des Einheitskreises gültigen analytischen Function in Form eines Quotienten unendlicher Producte, wenn deren Null- und Unendlichkeitsstellen in dem einer Gruppe linearer Substitutionen von der ersten Familie und dem ersten Rang zugehörigen Elementarpolygone gegeben waren, während die Null- und Unendlichkeitsstellen in dem äquivalenten Polygone die äquivalenten der erstgenannten waren. Die damals nicht erledigte Frage nach den notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, dass diese Function eine Fuchs'sche sei, wird hier wieder aufgenommen und in einem speciellen Falle näher untersucht. Es wird zuerst die Vorschrift zur Herstellung einer discontinuirlichen Fuchs'schen Gruppe linearer Substitutionen ausgeführt, der als Fundamentalbereich ein convexes Viereck erster Familie vom Geschlechte 1 zugehört; dann werden umgekehrt zwei reelle Substitutionen von der Determinante 1: \[ (\varGamma)\quad \left(z_,\,\frac{\alpha_1z+\beta_1}{\gamma_1z+\delta_1}\right),\;\left(z,\,\frac{\alpha_2z+\beta_2}{\gamma_2z+\delta_2}\right) \] gegeben, von denen man weiss, dass sie die Erzeugenden einer discontinuirlichen Gruppe vom Geschlechte 1 sind, und es wird der zugehörige Fundamentalbereich ermittelt. Ein specielles Zahlenbeispiel erläutert die Rechnung. Nach dieser arithmetischen Beschreibung des Fundamentalbereiches, der zu \(\varGamma\) gehört, wird die Theorie der Formen zweiten Grades \(ax^2+bxy+cy^2\), wo \(a\), \(b\), \(c\) ganze Zahlen sind, die also durch die Zusammensetzung der Coefficienten der fundamentalen Substitutionen der Modulgruppe \[ (z,z+1),\quad \left(z,-\tfrac1z\right) \] durch die zwei directen der vier Rechnungsoperationen gebildet sind, auf die Formen zweiten Grades übertragen, in welchen die Coefficienten \(a\), \(b\), \(c\) zu demjenigen Grössenbereiche gehören, bei dem jede Grösse \(\pm \alpha_i\), \(\pm \beta_i\), \(\pm\gamma_i\) \((i= 1, 2)\) durch Multiplication und Addition zusammengesetzt ist. Schliesslich wird die Frage nach den notwendigen und hinreichenden Bedingungen aufgenommen, unter welchen eine der fraglichen Functionen bei den Substitutionen der Gruppe \(\varGamma\) ungeändert bleibt. Seine Behandlungsweise führt den Verfasser auf ein Problem, das nicht mehr dem Gebiete der Functionen einer Veränderlichen angehört, indem es von Reihen mit mehreren Parametern abhängt, so dass damit der gewünschte Abschluss allerdings nicht vollständig erreicht wird.