Bemerkungen zur Theorie der elliptischen Functionen. (Q1529195)

Diese Note beschäftigt sich mit der elliptischen Elementarfunction dritter Art, deren Kenntnis man Herrn Hermite verdankt. Den Ausgangspunkt bildet die Reihe \[ R(u,w|\tau)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}\;\frac{q^{n^2}e^{2nu\pi i}}{1-q^{2n}e^{2w\pi i}}\,,\quad (q=e^{\tau\pi i}, \;| q|<1). \] Setzt man \[ f(u)= R(u, u+ v| r),\quad F(u)=\frac{f(u)}{\vartheta_3(u)}\,, \] so findet man \[ 4\pi i\vartheta_3(v)[F(u)-F(0)]=-\frac{\wp'u-\wp'v}{\wp u-\wp v}+\frac{\wp'u}{\wp u-\wp\frac{1+\tau}{2}}\,, \] wenn die \(\wp\)-Function auf Grund der Perioden 1 und \(\tau\) bestimmt wird. Drückt man die rechte Seite durch \(\vartheta\)-Functionen aus, so folgt \[ \vartheta_3R(u,w)=\vartheta_3(u)R(0,w-u)=\frac{\vartheta_1'}{2\pi i}\;\frac{\vartheta_1(u)\vartheta_3(w)}{\vartheta_1(w)\vartheta_1(w-u)}\,. \] Hieraus ergiebt sich \[ R(0,v)=A_v\vartheta_3-\frac{1}{2\pi i}\;\frac{\vartheta_1'}{\vartheta_1(v)}\int^1_0\;\frac{\vartheta_1(u)\vartheta_3(u+v)}{\vartheta_1(u+v)}\;du, \] wobei \(A_v\) den Wert 1 annimmt, wenn der imaginäre Teil von \(v\) zwischen Null und dem imaginären Teil von \(\tau\) liegt. Die Periodicitätseigenschaften von \(R(u,w)\) ermöglichen es, den Satz abzuleiten: \[ R(u,w)=i\;\frac{\vartheta_3(u)}{\vartheta_1(w)}\;e^{\pi i(wu-w-\frac34\tau)}.R\left(w+\frac{1+\tau}{2}\,,\;u-\frac{1+\tau}{2}\right)\,, \] der sich schon im wesentlichen bei Herrn Hermite findet. Durch Specialisirung von \(w\) ergeben sich die bekannten trigonometrischen Entwickelungen der Ausdrücke \[ \frac{\vartheta_0(u)\vartheta_1(u)}{\vartheta_2(u)}\quad\text{etc.} \] Um Mittel zur Uebersicht der sich hier darbietenden Formeln zu verschaffen, wird weiterhin gesetzt: \[ \begin{aligned} & f_1(u,v|\tau)=\sum^\infty_{n=-\infty}\;\frac{(-1)^nq^{(n+\frac12)^2}e^{(2n+1)u\pi i}}{1-q^{2n}e^{2\pi i(u+v)}}\,,\\ & f_2(u,v|\tau)=\sum^\infty_{n=-\infty}\;\frac{q^{(n+\frac12)^2}e^{(2n+1)u\pi i}}{1-q^{2n}e^{2\pi i(u+v)}}\,,\\ & f_3(u,v|\tau)=\sum^\infty_{n=-\infty}\;\frac{q^{n^2}e^{2nu\pi i}}{1-q^{2n}e^{2\pi i(u+v)}}\,,\\ & f_0(u,v|\tau)=\sum^\infty_{n=-\infty}\;\frac{(-1)^n q^{n^2} e^{2nu\pi i}}{1-q^{2n}e^{2\pi i(u+v)}}\,. \end{aligned} \] Wird nun der Kürze wegen \[ F_\alpha(u,v|\tau)= \frac{f_\alpha(u,v|\tau)}{\vartheta_\alpha(u|\tau)} \] geschrieben, so erhält man die Formel \[ F_\alpha(u,v)-F_\alpha(w,v)=\frac{\vartheta_1'V_\alpha}{2\pi i}\;\frac{\vartheta_1(u-w)\vartheta_\alpha(u+v+w)}{\vartheta_\alpha(u)\vartheta_\alpha(w)\vartheta_1(u+v)\vartheta_1(w+v)}\,, \] in welcher \[ V_1=V_2 =qe^{-v\pi i},\quad V_3=V_0=1. \] Im Falle \(\alpha= 3\) wird hieraus gefolgert, dass die Grösse \[ \varPhi(v,\tau)=F_3\left(\tfrac u\tau\,,\;\tfrac v\tau\left| -\tfrac1\tau\right.\right)- i\sqrt{\tfrac\tau i}\;F_3(u,v| \tau)e^{-\frac{v^2\pi i}{\tau}} \] von \(u\) unabhängig ist; wird beiderseits mit \(\vartheta_3(u)du\) multiplicirt und zwischen 0 und 1 integrirt, so ergiebt eine einfache Rechnung das Resultat \[ \varPhi(v,\tau)\sqrt{\frac\tau i}+\tau e^{-\frac{v^2\pi i}{\tau}} =\frac{\tau}{i}\int^\infty_{-\infty}e^{\tau\pi i(x+\frac i2-\frac{vi}{\tau})^2}\;\frac{dx}{1+e^{2\pi x}}\,, \] welches ein neues Integral mit der Theorie der Hermite'schen Transcendenten auf merkwürdige Weise in Verbindung setzt. Aus der vorletzten Gleichung ergeben sich noch die zwei Formeln: \[ \varPhi(v,\tau).\vartheta_3.\sqrt{\tfrac\tau i}=\sum^{\infty}_{n=-\infty}-\frac{e^{-\frac{n^2\pi i}{\tau}}}{1-e^{\frac{2\pi i}{\tau}(v-n)}}-\tau\varSigma\;\frac{e^{n^2\tau\pi i-\frac{v^2\pi i}{\tau}}}{1-e^{2\pi i(v+n\tau)}}\,, \] und \[ \varPhi(v,\tau).\vartheta_3(v).\sqrt{\tfrac\tau i}=\left(\tfrac12-v-\tfrac\tau 2\right)e^{-\frac{v^2\pi i}{\tau}}+\sum^{\infty}_{n=-\infty}{}'\;\frac{e^{-\frac{\pi i}{\tau}(v+n)^2}}{1-e^{-\frac{2n\pi i}{\tau}}}-\tau e^{-\frac{v^2\pi i}{\tau}}\;\sum^{\infty}_{n=-\infty}{}'\;\frac{e^{(n^2\tau-2nv)\pi i}}{1-e^{2n\tau\pi i}}\,, \] wobei in den Summen \(\sum{}'\) die Werte \(n = 0\) ausgenommen werden müssen. Zum Schluss wird die von Herrn Appell verallgemeinerte Function \[ A(u,v| \tau)=\sum^{\infty}_{\nu=-\infty}\;\frac{q^{n\nu^2}e^{2\nu nu\pi i}}{1-q^{2\nu}e^{2\pi i(u+v)}} \] untersucht. Sind z. B. \(\varTheta_1(u),\varTheta_2(u),\dots,\varTheta_n(u)\) linear unabhängige Thetafunctionen \(n^{\text{ter}}\) Ordnung mit der Charakteristik (00), so findet sich die Determinantenformel \[ \begin{vmatrix} A(w_0) & A(w_1) & \dots & A(w_n)\\ \varTheta_1(w_0) & \varTheta_1(w_1) & \dots & \varTheta_1(w_n)\\ \hdotsfor4\\ \varTheta_n(w_0) & \varTheta_n(w_1) & \dots & \varTheta_n(w_n)\end{vmatrix} = \frac{\gamma\vartheta_1'}{2\pi i}\;\frac{\vartheta_3(v+\sum^\alpha w_\alpha)\prod^{\alpha,\beta}\vartheta_1(w_\alpha-w_\beta)}{\prod_\alpha\vartheta_1(v+w_\alpha)}\,, \] die Summation und Multiplication bezogen auf die Indices \[ \alpha = 0, 1,\dots, n\quad \text{und}\quad \beta = 0, 1,\dots, n\quad (\alpha<\beta). \] Gestützt auf den bekannten Satz \[ R_n(u,w+\tau|\tau)=R_n(u,w|\tau)e^{n\pi i(2w-2u+\tau)}+\sum^{n-1}_{s=0}e^{2s\pi i(w+\tau)} \vartheta_3(nu+s\tau| n\tau), \] mit Benutzung der Bezeichnung \[ R_n(u,w) = A(u,w-u), \] leitet der Verf. endlich folgende Verallgemeinerung des Hermite'schen Satzes ab: \[ R_n(u,w)\vartheta_1(nu| n\tau).q^{2n-\frac14}e^{\pi i(nw-2nu)}=i\sum^{n-1}_{s=0}q^{2s}e^{2sw\pi i}\vartheta_3(nu+s\tau| n\tau)R_1\left(nw+\frac{n+n\tau}{2}\,,\;nu+s\tau-\frac{n+n\tau}{2}| n\tau\right). \]