Untersuchungen über Abel'sche Functionen vom Geschlechte 3. (Q1529213)

Die vorliegende Abhandlung umfasst die ausführliche Darlegung und Begründung der 1891 in den Monatsh. Math. 2, 55--60 (1891) entwickelten Gedanken (vgl. JFM 23.0492.01). Anschliessend an die Gesichtspunkte, die Herr F. Klein teils in seiner Abhandlung: ``Zur Theorie der Abel'schen Functionen'' [Math. Ann. 36, 1--83 (1890; JFM 22.0498.01)], teils in einer im Sommer 1889 gehaltenen Vorlesung dargelegt hat, verfolgt die Arbeit hauptsächlich den Zweck, eine neue Lösung des Umkehrproblems für \(p = 3\) zu geben, indem sie sich solcher Jacobi'schen Functionen bedient, deren Entwickelung nach Potenzen von viergliedrigen Integralsummen nach ganzen rationalen Covarianten derjenigen \(C_4\) fortschreitet, welche das algebraische Gebilde definirt. Von den zwei Teilen, in welche die Abhandlung zerfällt, beschäftigt sich der erste mit geometrisch algebraischen Untersuchungen über Scharen corresidualer Quadrupel, der zweite aber behandelt die Abhängigkeit der eingeführten Gebilde von den transcendenten Argumenten, wodurch die expliciten Formeln für das Umkehrproblem auf bedeutend einfachere Weise als bisher erhalten werden. Ausserdem ergeben sich durch diese Behandlung die 28 ungeraden Sigmafunctionen des Herrn Klein, sowie die Theta- resp. Sigmafunctionen des Herrn Frobenius [J. Reine Angew. Math. 105, 35--100 (1889; JFM 21.0499.02)] als Specialfälle einer und derselben Sigmafunction, welche unmittelbare geometrische Bedeutung hat.