Ueber die Differentialgleichungen der hyperelliptischen Thetafunctionen. (Q1529218)

Ist: \[ u=\int\;\frac{dx}{\sqrt{Ax^4+4Bx^3+6Cx^2+4Dx+E}}\,, \] so ist: \[ \text{(A)}\qquad \left(\frac{\partial^3\log\theta}{\partial u^3}\right)^2=-\begin{vmatrix}\l\quad & \l\quad & \l\\ A & B & C+2\varPhi\\ B & C-\varPhi & D\\ C+2\varPhi & D & E\end{vmatrix}\,, \] wo zur Abkürzung \[ \varPhi=\frac{\partial^2\log\theta}{\partial u^2} \] gesetzt ist, und: \[ \text{(B)}\qquad \frac{\partial^4\log\theta}{\partial u^4}=-6\left(\frac{\partial^2\log\theta}{\partial u^2}\right)^2+\tfrac12 g_2, \] wo \[ g_2 =(AE-C^2)- 4(BD-C^2) \] ist. Zwischen den hyperelliptischen Thetafunctionen bestehen, wenn die Thetafunctionen die durch Herrn Klein eingeführten Invarianteneigenschaften haben, partielle Differentialgleichungen von einer den Gleichungen (A) und (B) ganz analogen Form; diese mitzuteilen, ist der Inhalt der vorliegenden Note.