Bemerkung zu den Kugelfunctionen. (Q1529228)

Ist \(f(x)\) eine reelle Function, die nicht nur selbst zwischen \(-1\) und \(+1\) integrabel ist, sondern zugleich auch deren Quadrat so ist \[ (1)\qquad \lim_{n=\infty}\sqrt{2n+1}\int^{+1}_{-1}f(x)P_n(x)dx =0. \] Dieser Satz lässt sich folgendermassen verallgemeinern. Wenn \[ \int^b_a M_k(x)M_n(x)dx \] für \(k\gtrless n\) verschwindet, dagegen für \(k=n\) den Wert \(\alpha_n\) hat, so ist \[ (2)\qquad \lim_{n=\infty}\sqrt{\alpha_n} \int^b_a f(x)M_n(x)dx=0, \] vorausgesetzt, dass \(f(x)\) zwischen den Grenzen \(a\) und \(b\) die oben erwähnten Eigenschaften besitzt.