Ableitung einiger Formeln aus der Theorie der Bessel'schen Functionen. (Q1529233)

Es werden die Bessel'schen Functionen durch die Formel: \[ J_i(x)=\frac{(\frac12 x)^i}{1.2\dots i}\;F\left[k,k+i,i+1,-\left(\frac{x}{2k}\right)^2\right]\quad \text{für}\quad k=\infty \] definirt und als Grenzfälle der Laplace'schen Coefficienten betrachtet, welche durch die Formel: \[ \tfrac12\, P^i_s(\alpha)=\frac{s.(s+1)\dots(s+i-1)}{1.2\dots i}\;\alpha^iF(s,s+i,i+1,\alpha^2) \] gegeben sind. Man hat nämlich in der letzten Gleichung \(k\) nur an Stelle von \(s\) und dann \(\sqrt{-1}\cdot\frac{x}{2k}\) an Stelle von \(\alpha\) zu setzen, dann \(\lim k=\infty\) zu nehmen, um sofort die Gleichung \[ J_i(x)=\frac{1}{2(\sqrt{-1})^i}\cdot P^i_s(\alpha) \] zu ermitteln. Deshalb ergeben sich, wie weiter gezeigt wird, die Haupteigenschaften der Bessel'schen Functionen auch leicht aus den entsprechenden Eigenschaften der Laplace'schen Coefficienten.