The construction of some systems of angular transversals in the plane triangle. (Q1529310)

Im ``Nieuw Archief'' XVII hat der Verfasser die Ecktransversalen eines ebenen Dreiecks construirt, welche die gegenüberliegenden Seiten in Segmente teilen, deren Verhältnis demjenigen der \(n^{\text{ten}}\) Potenz der Sinus der über den anschliessenden Seiten des Dreiecks liegenden Winkel gleich kommt. In der vorliegenden Abhandlung wird angenommen, dass jene Segmente der \(n^{\text{ten}}\) Potenz einer goniometrischen Function der \(p\)-fachen so eben genannten Winkel proportional sind. Der Verfasser bezeichnet eine derartige Ecktransversale als ``Sinusian, Bisinusian, Semisinusian \(n^{\text{ter}}\) Ordnung'', wenn \(p\) nach einander die Werte 1, 2, \(\frac12\) erhält, und verwendet ähnliche Bezeichnungen für den Fall, dass andere goniometrische Functionen auftreten. Bei der Construction dieser Ecktransversalen spielen gewisse Hülfsdreiecke eine wichtige Rolle. Dieselben werden über den Seiten des gegebenen Dreiecks construirt und haben sämtlich die Eigenschaft, dass ihre Winkel in einer einfachen Beziehung: zu den anliegenden Winkeln des ursprünglichen Dreiecks stehen. Es zeigt sich, dass sämtliche Sinusianen, Bi- und Semisinusianen, Cosinusianen, Bi- und Semicosinusianen, Tangentianen, Bi- und Semitangentianen beliebiger Ordnung auf einfache Weise mit Hülfe von Zirkel und Lineal construirt werden können. Zum Schlusse giebt der Verfasser die allgemeine Gleichung der von Hrn. de Longchamps eingeführten ``potentielle triangulaire'' (d. h. des geometrischen Ortes der Concurrenzpunkte der Ecktransversalen \(m^{\text{ter}}\) Ordnung, wenn \(m\) alle reellen Werte durchläuft) in trilinearen Coordinaten.