Ueber eine Aufgabe aus der darstellenden Geometrie. (Q1529412)

Es handelt sich um die Bestimmung der Geraden, deren Grundriss und Kreuzriss sich decken, wenn Grundrissebene und Kreuzrissebene in die Aufrissebene umgeklappt werden. Für jeden Punkt der Halbirungsaxe desjenigen Nebenoctanten, der mit dem Hauptoctanten die Aufrissebene gemein hat, fallen die drei Projectionen zusammen. Die Geraden, deren Grundriss und Kreuzriss zusammenfallen, bilden die Mantellinien einer Schar von ähnlichen und ähnlich liegenden Kegeln zweiter Ordnung, deren Scheitel auf der genannten Halbirungsaxe liegen; sie erfüllen also eine Strahlencongruenz (1, 2). Jeder solcher Kegel schneidet die Aufrissebene nach einer gleichseitigen Hyperbel und wird von einer zu jener Halbirungsaxe senkrechten Ebene nach einem Kreis geschnitten; derjenige, dessen Scheitel im Ursprung liegt, ist symmetrisch zur Aufrissebene, berührt die Grundrissebene und Kreuzrissebene längs den bezüglichen Grundschnitten und geht durch die Halbirungsaxe. Aus dem Gesagten folgt, dass in jeder Ebene ein Punkt existirt, dessen drei Projectionen zusammenfallen, und zwei durch diesen Punkt gehende Gerade, deren Grundriss und Kreuzriss zusammenfallen. Ist die Ebene durch ihre Spuren gegeben, so können die fraglichen Geraden als Schnittlinien des betreffenden Kegels leicht erhalten werden, wobei sich ein einfaches Kriterium für ihre Realität ergiebt.