Sur quelques propriétes du triangle. (Q1529459)

Sind zwei Dreiecte \(ABC\) und \(abc\) collinear, so liegen die sechs Schnittpunkte je einer Seite mit den beiden nicht entsprechenden auf einem Kegelschnitte \(K\). Zieht man durch \(A\), \(B\), \(C\) drei Parallelen zu \(bc\), \(ca\), \(ab\), so sind deren Richtungen \(\lambda\), \(\mu\), \(\nu\) nicht unabhängig von der Lage des Collineationscentrums \(O\). Es werden die Bedingungen untersucht, unter welchen 1) \(abc\) für die Richtungen \(\lambda\), \(\mu\), \(\nu\) und ein bestimmtes Centrum \(O\) collinear mit \(ABC\) sein kann, 2) \(K\) ein Kreis ist. Es ergiebt sich: Wenn die Summe der Neigungen von \(\lambda\), \(\mu\), \(\nu\) gegen die Seiten von \(ABC\) ein Vielfaches von \(n\) ist, so lassen sich für ein bestimmtes \(O\) zu \(ABC\) collineare Dreiecke zeichnen, deren Seiten den Richtungen \(\lambda\), \(\mu\), \(\nu\) parallel sind und die nicht entsprechenden Seiten von \(ABC\) in sechs Punkten eines Kreises schneiden. Aendert \(O\) seine Lage, während \(\lambda\), \(\mu\), \(\nu\) constant bleiben, so sind alle zugehörigen Kreise coaxial, in zwei Fällen concentrisch, nämlich wenn \(\lambda = \mu = \nu = 1\) und wenn \(\lambda = \mu = -\nu = -1\) ist. Interessante Specialfälle ergeben sich, wenn die merkwürdigen Punkte mit \(O\) zusammenfallen oder auf der Axe jener Kreise liegen.