Elementare Construction der Figur dreier in desmischer Lage befindlichen Tetraeder. (Q1529504)

Bekanntlich nennt man drei Tetraeder in ``desmischer'' Lage befindlich, wenn je zwei derselben auf vierfache Weise perspectiv liegen, und die vier Perspectivitätscentra die Ecken des dritten Tetraeders sind. Schon früher war die Figur dreier in desmischer Lage befindlichen Tetraeder mehrfach untersucht, nämlich von: 1) O. Hermes: Das Fünfflach und Fünfeck im Raume (J. für Math. LVI. 247. 1859); 2) L. Cremona: Teoremi stereometrici, dai quali si deducono le proprietà del esagrammo di Pascal (R. Accadem. dei Lincei; 1879); 3) C. Stephanos: Sur les systèmes desmiques de trois tetraèdres (Darboux Bull. (2) III. 1879, JFM 11.0431.01); 4) H. Schröter: Einige Sätze über das Tetraeder (Tageblatt der Naturforschervers. zu Baden-Baden; 1879); 5) H. Schröter: Ueber eine Raumcurve vierter Ordnung erster Species (J. für Math. XCIII. 169; 1882, JFM 14.0566.01); 6) O. Schlömilch in der Zeitschr. für Math. und Phys. XXVII. (1882), ``Kleinere Mittheilungen'', Art. 24 u. 25 u. Bemerkungen von H. Schröter, S. 380; 7) E. Hess: Beiträge zur Theorie der mehrfach perspectiven Dreiecke und Tetraeder (Math. Ann. XXVIII. 167; 1886, JFM 18.0576.02); 8) L. Klug: Ueber mehrfach perspective Tetraeder (Hoppe Arch. (2) VI. 93; 1887, JFM 19.0572.04). Die vorliegende Abhandlung des leider inzwischen der Wissenschaft durch den Tod entrissenen Verfassers giebt die Eigenschaften der Figur von drei in desmischer Lage befindlichen Tetraedern in übersichtlicherer Gestalt und mit einfacherer Herleitung, indem an das räumliche Fünfeck angeknüpft wird, und dadurch gewisse Analoga zu den Eigenschaften des vollständigen ebenen Vierecks geschaffen werden. Hierdurch wird die oben genannte Abhandlung von O. Hermes in gewissem Sinne ein Vorläufer der Schröter'schen Abhandlung. Zu der näheren Auseinandersetzung der Resultate dieser Abhandlung dürfte wegen der bei dem Gegenstande notwendigen Bezeichnungs-Symbolik hier nicht der Raum sein. Doch soll eins der wichtigsten Resultate Schröter's hier Platz finden, dass nämlich die 12 Seitenflächen dreier in desmischer Lage befindlichen Tetraeder eine Eigenschaft aufweisen, die derjenigen dualistisch gegenübersteht, welche die 12 Ecken zeigen. Wenn man nämlich die Lage zweier Tetraeder ``perspectiv'' nennt, wenn die vier Ecken des einen, verbunden mit den vier Ecken des anderen, vier Strahlen liefern können, die durch einen Punkt gehen, das Perspectivitäts-Centrum, so ist man berechtigt, ``complanar'' die Lage zweier Tetraeder zu nennen, wenn die vier Seitenflächen des einen von denen des andern in vier Geraden geschnitten werden können, die in einer und derselben Ebene liegen. Wenn man nun von drei in desmischer Lage befindlichen Tetraedern irgend zwei herausnimmt, so sind dieselben in vierfacher Weise complanar, und die Ebenen, welche diese Lage liefert, sind nichts anderes, als die vier Seitenflächen des dritten Tetraeders.