Die Kugelgeometrie nach den Principien der Grassmann'schen Ausdehnungslehre. (Q1529506)

Die Grundlage der vorliegenden Untersuchungen bilden die von Grassmann in der \(A_2\) gegebenen kurzen Erörterungen über Kreisfunction, Kreisverwandtschaft und Doppelabstand eines Punktes von einer Kugel. Hiermit lässt sich, wie der Verf. zeigt, diejenige Geometrie, in welcher die Kugel (von übrigens beliebiger Dimensionenzahl) als Raumelement, Punkt und Ebene als ihre Specialfälle erscheinen, vollständig und auf kürzestem Wege gewinnen. Den Wert der Behandlung dieses Gegenstandes durch Grassmann's Methoden erblickt der Verf. mit Recht darin, dass durch Specialisirung der gewonnenen allgemeinen Sätze und durch Deutung derselben in verschiedenen Gebieten der organische Zusammenhang zwischen Sätzen dargelegt wird, zwischen denen man sonst keinen Zusammenhang vermutet. Hier, wie überall, wo man mit der Ausdehnungslehre arbeitet, zeigt sich die Wirkung ihrer Methoden zunächst darin, dass sie bekannte, zerstreut gefundene Thatsachen in ein einheitliches grosses System einordnet, in die Fülle der Resultate Ordnung und Uebersicht bringt, die organischen Zusammenhänge aufdeckt und nebenbei die zusammenhanglose, den Charakter der zufälligen Entstehung überall an sich tragende Symbolik der neueren Mathematik auf wenige einfache Grnndprincipien zurückführt. Im Besitz eines derartigen Werkzeuges ist es dann in zweiter Linie leicht, zu den als Kriterium für die Brauchbarkeit einer Methode betrachteten ``neuen Resultaten'' zu gelangen. Man braucht z. B. nur, nach dem Vorgange des Verf., irgend einen geometrischen Satz in die Sprache der Ausdehnungslehre zu übersetzen und den so erhaltenen allgemeinen Satz in den verschiedenen Gebieten zu deuten. Der vorliegende erste Teil der ganzen Arbeit behandelt im ersten Capitel die Zahlbeziehungen zwischen Kugeln. In diesen Beziehungen, die unmittelbar aus allgemeinen Sätzen der \(A_2\) folgen, sind gleichzeitig alle Lagenbeziehungen der Kugeln enthalten. Das zweite Capitel giebt eine Uebersicht über die Kugelgebiete verschiedener Stufen (Büschel, Bündel, Gebüsch) und ihre Eigenschaften, sowie die der Orthogonalkugeln. Hier erweist sich die Kugelgeometrie im wesentlichen als identisch mit derjenigen des linearen vierdimensionalen Raumes. Auch lässt sich auf dieser Grundlage die projective Geometrie des Kugelraumes analog mit dem von v. Staudt für den gewöhnlichen dreidimensionalen Raum gegebenen Beispiel entwickeln. Das ``äussere'' Product von \(n\) unabhängigen Kugeln (Capitel 3) stellt das durch dieselben bestimmte Kugelgebiet dar, und gleichzeitig einen Zahlenwert, der gleich dem Werte des äusseren Productes ihrer Mittelpunkte ist. Ausserdem hat es noch eine anschauliche geometrische Bedeutung. Das ``innere'' Product zweier Kugeln (Capitel 4) ist gleichbedeutend mit ihrer gemeinschaftlichen Potenz. Die Bemerkung des Verf., dass der Productcharakter dieses Ausdrucks, ebenso wie der des negativen halben Quadrats der Entfernung zweier Punkte, auch von anderer Seite her erkannt wurde, beweist im Verein mit ähnlichen Thatsachen schlagend, wie sehr die Entwickelung der modernen Geometrie von selbst der durch Grassmann gegebenen Formulirung entgegenstrebt. Aus den allgemeinen Sätzen über innere Producte ergeben sich ferner mit Leichtigkeit die meisten der von Darboux, Frobenius u. a. gefundenen Sätze der Kugelgeometrie. Ueber den zweiten Teil der Abhandlung wird im nächsten Jahrgang der F. d. M. berichtet werden (siehe JFM 25.1015.01).