Sulla teoria generale delle omografie. (Q1529524)

Eine collineare Beziehung eines Raumes \(n^{\text{ter}}\) Stufe in sich heisst allgemein, wenn die Räume entsprechend gemeinsamer Punkte: \[ F(h_1'-1),\quad F(h_1^{\prime\prime}-1), \dots, F(h_1^{(\sigma)}-1) \] (von \(h_1'^{\text{ter}}\), \(h_1^{\prime\prime\text{ter}}, \dots, h_1^{\sigma\text{ter}}\) Stufe) den Raum \(n^{\text{ter}}\) Dimension festlegen; bestimmen sie einen Raum niedrigerer Dimension, so wird sie als eine specielle Beziehung bezeichnet. Im ersten Fall kann man das fundamentale weder aus entsprechend gemeinsamen Punkten zusammensetzen und hat in den Gleichungen \[ rx_i = r^{(i)} x_i' \qquad (i=1, 2,\dots,n) \] die \(h_1'\) ersten \(r^{(i)}\) der \(h_1'\)-fachen Wurzel der determinirenden Gleichung \(D(r) = 0\) gleich zu setzen, die \(h_1^{\prime\prime}\) folgenden der \(h_1^{\prime\prime}\)-fachen u. s. w. Die Verhältnisse \(r':r^{\prime\prime}:\dots:r^{(\sigma)}\) sind absolute Invarianten der Beziehung. Zu jedem Raum \(F(h_1^{(i)}-1)\) ist ein Raum \(G(n-h_1^{(i)})\) conjugirt, der durch die Beziehung in sich transformirt wird. \(G(n-h_1')\) enthält die Centren der perspectivischen Beziehungen zwischen zwei Räumen \(h^{\text{ter}}\) Dimension, die \(F(h_1'-1)\) entsprechend gemein haben. Im allgemeinen, aber nicht im speciellen Fall, ist er durch \(F(h_1^{\prime\prime}-1), F(h_i^{\prime\prime\prime}-1),\dots, F(h_1^{(\sigma)}-1)\) festgelegt. Im letzteren Falle kann er ausser den genannten noch einen anderen Raum \(F(h_2'-1)\) entsprechend gemeinsamer Punkte haben, der \(F(h_1'-1)\) angehört. Zu \(F(h_2'-1)\) ist in \(G(n- h_1')\) ein \(G(n-h_1'-h_2')\) conjugirt, der mit \(F(h_2'-1)\) ein \(F(h_3'-1)\) gemein haben kann. Auf diese Weise kommt man zu einer Reihe von Räumen \[ F(h_1'-1),F(h_2'-1), \dots, F(h_{p'}'-1), \] von denen jeder alle folgenden enthält. Hierzu gehören als conjugirte Räume, \[ G(n-h_1'), G(n-h_1'-h_2'), \dots,G(n-h_1'- h_2'-\cdots -h_{p'}'); \] der letzte ist conjugirt zu \(F(h_{p'}'-1)\) in der Beziehung, die \(G(n-h_1'- h_2'-\cdots-h_{p'-1}')\) in sich überführt und hat mit \(F(h_1'-1)\) nichts gemeinsam. Hingegen enthält er \(F(h_1^{\prime\prime}-1),\dots,F(h_1^{\sigma}-1)\), und man kann mit ihm und \(F(h_1^{\prime\prime}-1)\) denselben Process wiederholen. So kommt man zu der Charakteristik der Beziehung: \[ \{(h_1',h_2',\dots,h_{p'}')(h_1^{\prime\prime},h_2^{\prime\prime},\dots,h_{p^{\prime\prime}}^{\prime\prime})\dots (h_1^{(\sigma)},h_2^{(\sigma)}, \dots, h^{(\sigma)}_{p^{(\sigma)}}\}. \] Die Wurzeln der determinirenden Gleichung sind nun \(g'\)-, \(g''\)-, \dots,\(g^{(\sigma)}\)-fach, wo \(g^{(i)} = h^{(i)}_1+ h^{(i)}_2+ \cdots+h^{(i)}_{p^{(i)}}\). Um eine solche Beziehung zu geben, nimmt der Verf. beispielsweise \[ p' = 4,\quad h_1' = \alpha,\quad h_2' = \beta,\quad h_3'=\gamma,\quad h_4'=\delta,\quad p_1'= 4 \] und wählt zunächst in dem \(F(\alpha-1)\) \(\alpha\) unabhängige Punkte, von denen bezw. die \(\delta, \gamma, \beta\) ersten in \(F(\delta-1)\), \(F(\gamma-1)\), \(F(\beta-1)\) liegen. In \(G(n-\alpha-\beta -\gamma)\), aber ausserhalb \(G(n-\alpha-\beta -\gamma-\delta)\) kann man (\(\delta\) Paare entsprechender Punkte \(B_1 B_1', B_2 B_2', \dots, B_\delta B_\delta'\) wählen, deren Verbindungslinien \(A_1,\dots, A_\delta\) treffen. Weiter nehme man in \(G(n-\alpha-\beta)\), aber ausserhalb \(G(n-\alpha-\beta-\gamma)\) die Punktepaare \[ B_{\delta+1} B_{\delta+1}',\dots,B_\gamma B_\gamma',\;C_1 C_1',\dots,C_\delta C_\delta' \] so an, dass sie mit \[ A_{\delta+1}, \dots, A_\gamma,\quad B_1,\dots, B_\delta \] auf Geraden liegen. Zuletzt kann man ausserhalb \(G(n-\alpha-\beta)\), aber in \(G(n-\alpha)\) die Punktepaare \[ B_{\gamma+1}B_{\gamma+1}',\dots,B_\beta B_\beta',\quad C_{\delta+1}C_{\delta+1}',\dots, C_\gamma C_\gamma',\quad D_1D_1',\dots,D_\delta D_\delta' \] so annehmen, dass ihre Verbindungslinien \[ A_{\gamma+1}\dots A_\beta,\quad B_{\delta+1}\dots B_\gamma,\quad C_1 \dots C_\delta \] treffen. \(A_1 \dots A_\alpha\), \(B, \dots B_\beta\), \(C_1,\dots,C_\gamma\), \(D_1\dots D_\delta\) bestimmen dann einen Raum \(H(g'-1)\), der ebenso wie \(G(g'-1)\) sich selbst entspricht und von diesem unabhängig ist. Die Gleichungen für den Fall, dass die erwähnten Punkte und die analogen für \(G(n'-g')\) Fundamentalpunkte sind, werden aufgestellt.