Beitrag zur Liniengeometrie in \(n\) Dimensionen. (Q1529536)

Nachdem der Verfasser in Math. Ann. XXVI die Grundlagen für eine abzählende Geometrie in \(n\) Dimensionen geschaffen hatte, waren es nicht deutsche, sondern viele italienische Mathematiker, welche in der angegebenen Untersuchungsrichtung weiter arbeiteten und neue schöne Resultate fanden; vor allem seien die Herren Segre und Pieri genannt neben mehreren anderen, welche Abzählungsfragen in \(n\) Dimensionen behandelten und dabei auf die Resultate des Verfassers Rücksicht nahmen. Wohl hatte derselbe schon in der genannten Abhandlung für den Strahl das symbolische Product zweier in allgemeiner Gestalt gegebenen Lage-Bedingungen als Summe von einzelnen Lage-Bedingungen dargestellt. Herr Segre aber hatte 1891 dem Verfasser die damit vorbereitete, aber doch damit noch lange nicht erledigte Frage gestellt: ``Wieviel Strahlen giebt es in einem \(n\)-dimensionalen linearen Raume, welche die Bedingungen \((a_1\alpha_1),(a_2\alpha_2),\dots,(a_q\alpha_q)\) erfüllen, wo, damit die Frage Sinn hat, \[ (a_1+\alpha_1)+(a_2+\alpha_2)+\cdots+(a_q+\alpha_q) =(2n-1) (q-1)+1 \] sein muss?'' Der Verfasser beweist nun hier ausführlich die Formel, welche die Frage beantwortet. Für die weniger eingeweihten Leser sei gesagt, dass \((a_i\alpha_i)\) die Bedingung bedeutet, dass der gesuchte Strahl in einem \(\alpha_i\)-dimensionalen linearen Raum liegen und dabei einen in diesem Raum gelegenen \(a_i\)-dimensionalen linearen Raum einpunktig schneiden soll. Die die Frage beantwortende Hauptformel lässt sich in folgender Weise darstellen. Es werde \(\alpha_i-a_i\) durch \(d_i\) bezeichnet, und \(\frac12\,d_1+\frac12\,d_2+\cdots+\frac12\,d_q+\frac12\,q-2\) durch \(e\); ferner sei \(s\) gleich dem Binomialcoefficienten \(e_{q-2}\), \(s_i\) gleich dem Binomialcoefficienten \((e-d_i)_{q-2}\), \(s_{ik}\) gleich dem Binomialcoefficienten \((e-d_i-d_k)_{q-2}\), u. s. w. Dann ist die von Herrn Segre gewünschte Anzahl gleich \[ \begin{aligned} s&- (s_1+s_2+ \cdots + s_q)+(s_{12}+s_{13}+ \cdots)\\ &- (s_{123} +\cdots)+ \cdots+(- 1)^qs_{123\dots q}.\end{aligned} \] Es folgen dann noch zwei Anwendungen des Resultats und die Erweiterung desselben vom Strahl auf den \(p\)-dimensionalen linearen Raum, aber nur für \(i = 2\).