Ueber die gestaltlichen Verhältnisse der durch eine Differentialgleichung erster Ordnung zwischen zwei Variabeln definirten Curvensysteme. (Zweite Mitteilung.). (Q1529568)

Um über den Gesamtverlauf der Integralcurven einer Differentialgleichung erster Ordnung Aufschluss zu erhalten, betrachtet der Verfasser die einzelne Differentialgleichung als Glied einer Reihe von continuirlich in einander übergehenden Differentialgleichungen und studirt die Aenderungen, welche die Integralcurven durch eine solche stetige Abänderung der Differentialgleichung erleiden. Das zu Grunde gelegte System von Differentialgleichungen is von der Gestalt \[ F(x,y,y')-k=0, \] wo \(k\) der Parameter und \(F(x,y,y')\) eine reelle eindeutige Function der Veränderlichen \(x,y,y'\) ist, welche nur für endliche Werte dieser Veränderlichen verschwindet und an jeder Stelle \(x_0, y_0, y_0'\) nach ganzen Potenzen von \(x-x_0\), \(y-y_0\), \(y'-y_0'\) entwickelbar ist. Der Verfasser deutet nun \(x,y,y'\) als Coordinaten eines Punktes im Raume, so dass jene Gleichung ein System von ganz im Endlichen gelegenen, einander nicht schneidenden, geschlossenen Flächen darstellt, die den Raum gerade einfach durchsetzen. Auf jeder dieser Flächen ist das ihr entsprechende System von Integralcurven einfach darüber gelagert. Mittels der Substitution \[ x-x_0=\xi,\quad (y-y_0)- y_0'(x-x_0)= \eta,\quad y'-y_0'= \eta' \] ergiebt sich die Entwickelung: \[ \begin{multlined} F(x,y,y')- k_0\equiv (F_1+ y_0'F_2)\xi+ F_2\eta+ F_2\eta'+ \tfrac12 \{(F_{11}+ 2y_0' F_{12}+ y_0^{\prime 2}F_{22}) \xi^2+ 2(F_{12}+ y_0'F_{22}) \xi\eta+ F_{22}\eta^2\}\\ +(F_{12}+ y_0'F_{23}) \xi\eta'+ F_{23} \eta\eta'+ \tfrac12 F_{33}\eta^{\prime2}+\cdots. \end{multlined} \] Der erste Abschnitt behandelt die wesentlich singulären Stellen der Differentialgleichungen, d. h. diejenigen Stellen, für welche gleichzeitig die drei Gleichungen \[ F-k_0=0,\quad F_1+ y_0'F_2=0,\quad F_3=0 \] statthaben. Zur näheren Untersuchung derselben verhilft nun die geometrische Anschauung, insofern die letzteren Gleichungen auf den Flächen des Systems Curven bestimmen, die von einfacher geometrischer Bedeutung sind. Der zweite Abschnitt beschäftigt sich mit den ausserwesentlich singulären Stellen der Differentialgleichungen des Systems, d. h. mit denjenigen Stellen, für welche \[ F_3=0, \qquad F_{33}=0 \] wird; der Verfasser untersucht insbesondere das Zusammenfallen zweier ausserwesentlichen Stellen; er erhält schliesslich einen vollständigen Ueberblick über das Verhalten des Integralsystems gegenüber allen denjenigen Aenderungen des Flächensystems, welche im Sinne der Analysis situs wesentlich sind, und gelangt auf diesem Wege zu einer Bestätigung der Relation \(K= s_0+s_\infty- s_2\), welche zwischen der Zusammenhangszahl \(K\) einer Fläche \(F-k=0\) und den Anzahlen \(s_0, s_\infty, s_2\) der singulären Stellen von gewisser Art besteht. Die gewonnenen Resultate werden durch zahlreiche Figuren veranschaulicht.