On auto reciprocal polar curves. (Q1529569)

Wegen der projectiven Beziehung zwischen einer Curve und ihrer reciproken Polare in Bezug auf einen festen Kegelschnitt betrachtet der Verfasser zunächst nur den Fall, wo dieser Kegelschnitt der Kreis \(x^2+ y^2= a^2\) ist. Ist nun \(f(x,y)=0\) die Gleichung der gegebenen Curve mit dem Differential \(P\,dx+Q\,dy=0\), so wird die reciproke Polare erhalten, indem \(x\) und \(y\) eliminirt werden zwischen \[ \frac{x'}{P}= \frac{y'}{Q}= \frac{a^2}{R} \quad\text{und}\quad f(x,y)=0, \quad\text{wo}\quad R= xP+ yQ. \] Hieraus lässt sich sogleich schliessen, dass eine parabolische Curve \[ y^n= Ax^n+ Bx^{n-1}+\cdots+ Ix^2+ Kx+ L \qquad (m^2\gtrless n) \] nur mit ihrer reciproken Polare zusammenfallen kann, falls sämtliche Coefficienten \(B,C,\dots, L\) verschwinden. Für \(m=n=2\) oder \(y^2= Ax^2+ 2Bax+ Ca^2\) findet man als Bedingung der Selbstreciprocität, dass entweder \(B=0\), \(A(A^2-1)=0\), \(C(C^2-1)=0\) oder \(B^2-AC=0\), \((A-C)^2=1\) oder schliesslich \(B^2= A^2-1\), \(C=A\), sein muss. Hieraus ergeben sich sechs Fälle, deren merkwürdigster zum Kegelschnitt \[ a^2(x-b)^2+ (bx-a^2)^2- (a^2-b^2)y^2=0 \tag{1} \] führt. Ersetzt man hierin \(b\) durch \(\frac{a^2}{b}\), so entsteht ein zweiter selbstreciproker Kegelschnitt: \[ a^2(x-b)^2+ (bx-a^2)^2+ (a^2-b^2)y^2=0, \] und diese beiden bilden mit dem Fundamentalkreise und der selbstreciproken gleichseitigen Hyperbel \(x^2-y^2=a^2\) ein beachtenswertes System. Denkt man dasselbe nämlich perspectivisch auf ein anderes bezogen, so erhält man das von Steiner betrachtete ``System harmonisch zugeordneter Kegelschnitte''. In einem zweiten Teile wird die Aufgabe behandelt: Aus der gegebenen Enveloppe der Verbindungsgeraden zweier einander zugeordneten Punkte einer selbstreciproken Curven die letztere zu bestimmen. Die Enveloppe wird nach Monge in der Form \[ X= f\sin \alpha+ f'\cos \alpha, \quad Y=-f\cos \alpha+f'\sin \alpha, \] wo \(f\) eine willkürliche Function der Grösse \(\alpha\) ist, gegeben vorausgesetzt. Sind \(r,r'\) die Entfernungen des Punktes \(X,Y\) von den beiden einander zugeordneter Punkten \(x,y\) und \(x',y'\), so lauten die Bedingungen des Problems folgendermassen: \[ (r+f')(r'+f')+f^2=a^2, \quad fr-(r'+f') \biggl(f+f''+ \frac{dr}{d\alpha}\biggr)=0, \quad fr'-(r+f') \biggl(f+f''+ \frac{dr'}{d\alpha}\biggr)=0. \] Die Elimination von \(r'\) ergiebt nun die Differentialgleichung für \(r\): \[ fr^2+ ff'r+ (f^2-a^2) (f+f'')+ (f^2-a^2) \frac{dr}{d\alpha}=0, \] welche ebenfalls für \(r'\) gültig ist. Die daraus sich ergebenden Werte für \(r\) und \(r'\) können nur in den Integrationsconstanten verschieden sein, welche sodann, nachdem \(r\) und \(r'\) in \(x,y,x',y'\) ausgedrückt sind, derart bestimmt werden können, dass sich die nämliche Gleichung für \(x,y\) und \(x',y'\) ergiebt. Anwendung auf den Fall, wo die gegebene Enveloppe ein Punkt \(X=\frac{a^2}{b}\), \(Y=0\) ist, somit \(f= \frac{a^2}{b}\sin \alpha\). Man wird sodann zum vorher schon betrachteten Kegelschnitt (1) geführt. Ist die gegebene Enveloppe ein Kreis \(X^2+Y^2= b^2\), so hat man es mit einer transcendenten selbstreciproken Curve zu thun.