On the geometric representation of imaginary points in space (Q1529769)

Sind \(x_1+x_2 \sqrt{-1}\), \(y_1+y_2 \sqrt{-1}\), \(z_1+z_2 \sqrt{-1}\) die Coordinaten eines imaginären Punktes in Bezug auf drei rechtwinklige Axen, so wird derselbe geometrisch gedeutet als die Gesamtheit der reellen Punkte \(x,y,z\), für welche die Distanz \[ d=\sqrt{(x-x_1-x_2\sqrt{-1})^2+ (y-y_1-y_2\sqrt{-1})^2+ (z-z_1-z_2\sqrt{-1})^2} \] verschwindet, wodurch sich die beiden Gleichungen ergeben \[ (x-x_1)^2+ (y-y_1)^2+ (z-z_1)^2= x_2^2+ y_2^2+ z_2^2, \] \[ x-2(x-x_1)+ y_2(y-y_1)+ z_2(z-z_1)=0. \] Der imaginäre Punkt wird somit dargestellt durch einen Kreis, dessen Centrum im Punkte \(P_1 (x_1, y_1, z_1)\) liegt, dessen Ebene senkrecht ist zu der Geraden, welche den Ursprung \(O\) mit dem Punkte \(P_2 (x_2, y_2, z_2)\) verbindet (Normale des imaginären Punktes), und dessen Radius der Länge dieser Geraden \(OP_2\) gleich kommt. Centrum, Ebene und Radius zweier conjugirt imaginären Punkte stimmen überein, die Normalen haben jedoch entgegengesetzte Richtungen. Führt man noch den Punkte mit den Coordinaten \(x_1+x_2\), \(y_1+y_2\), \(z_1+z_2\) als Pol des imaginären Punktes ein, so können zwei conjugirt imaginäre Punkte dadurch unterschieden werden, dass man den Kreis in \textit{der} Richtung durchläuft, welche, von dem Pol des imaginären Punktes aus gesehen, mit dem Sinne der Bewegung der Zeiger einer Uhr übereinstimmt. Nach einer kurzen Betrachtung der imaginären Punkte einer reellen Ebene und eines reellen Ellipsoids geht der Verfasser zur Deutung der Gleichungen mit complexen Coefficienten über. Eine Gleichung \(n^{\text{ten}}\) Grades mit solchen Coefficienten wird die allgemeine Gleichung \(n^{\text{ten}}\) Grades genannt. Eine einizige derartige Gleichung stellt eine ``allgemeine Fläche \(n^{\text{ten}}\) Grades'', zwei Gleichungen stellen eine ``allgemeine'' Curve dar. Während bei reellen Figuren die imaginären Punkte stets paarweise conjugirt vorkommen, ist dies bei den ``allgemeinen'' Figuren nicht der Fall. Zu jeder Curve gehört ein Ort der Centra der imaginären Punkte und ein Ort der Endpunkte der coinitialen Normalen, je nachdem man aus den vier reellen Gleichungen, welche zwischen den Grössen \(x_1, y_1, z_1\), \(x_2, y_2, z_2\) bestehen, entweder \(x_2, y_2, z_2\) oder \(x_1, y_1, z_1\) eliminirt. Ein wenig ausführlich bleibt der Verfasser bei den imaginären Punkten der allgemeinen Ebene und der allgemeinen Geraden stehen. Ist die Gleichung der ersteren \[ ax+ by+ cz+ d=0, \quad\text{worin}\quad p= p_1+ p_2 \sqrt{-1}, \] so zeigt sich, dass die Richtung \(V\), welche senkrecht ist zu den beiden anderen, deren Richtungscosinus den Grössen \(a_1, b_1, c_1\); \(a_2, b_2, c_2\) proportional sind, eine ausgezeichnete Rolle spielt. Für jeden beliebig gewählten Punkt \(P_1 (x_1, y_1, z_1)\) ist der geometrische Ort des Punktes \(P_2 (x_2, y_2, z_2)\) eine Parallele zur Richtung \(V\), welche sich nicht ändert, wenn \(P_1\) parallel zu \(V\) sich bewegt. Eine einfache geometrische Construction für zwei zu einander gehörige Punkte \(P_1\) und \(P_2\) wird angegeben. Die Gleichungen der allgemeinen Geraden werden in die Gestalt \[ x=au+d, \quad y=bu+e, \quad z=cu+f \] gebracht, wo sämtliche Grössen complex sind, und \(u\) eine beliebige Veränderliche bedeutet. Die Oerter der Punkte \(P_1\) und \(P_2\) sind zwei parallele Ebenen und die geometrische Construction zweier zu einander gehörigen Punkte \(P_1\) und \(P_2\) zeigt sich leicht ausführbar. Zum Schluss erörtert der Verfasser den Zusammenhang zwischen diesen Betrachtungen mit den in seiner ``Theorie der Quaternionen'' angestellten und mit den Untersuchungen von Hrn. Tarry.