Sur une surface de révolution du quatrième degré dont les lignes géodeésiques sont algébriques. (Q1529794)

Herr Darboux hat in der Note XV zu dem Traité de Mécanique von Despeyrous eine Methode angegeben, um alle Rotationsflächen zu bestimmen, deren geodätische Linien sich schliessen. Herr Tannery teilt nun ohne Ableitung die Gleichung einer Fläche vierter Ordnung mit: \[ 16a^2 (x^2+y^2)= z^2(2a^2-z^2), \] deren geodätische Linien sich nicht nur schliessen, sondern auch algebraisch sind. Die Fläche besitzt einen konischen Punkt und hat eine birnförmige Gestalt. Jede geodätische Linie umwindet sie zweimal. Da die geodätischen Linien auf dieser Fläche alle gleich lang sind (es lässt sich übrigens leicht nachweisen, dass dies bei allen Flächen, auf denen die Linien sich schliessen, der Fall ist), so ergeben sich die beiden interessanten Grenzfälle, dass eine jede geodätische Linie so auf der Fläche verschoben werden kann, dass sie den ganzen Meridian einmal oder den Aequatorkreis zweimal umspannt. Die von Herrn Darboux mitgeteilte Gleichung zur Auffindung solcher Flächen lauten: \[ \sqrt{1+\varphi'^2}+ \sqrt{1+\psi'^2}= \frac{4\mu a}{\sqrt{a^2- r^2}}. \] Hier sind \(\varphi\) und \(\psi\) willkürliche Functionen von \(r= \sqrt{x^2+y^2}\), \(r=a\) ist der Radius des Aequators und \(\mu\) eine rationale Zahl. Bestimmt man die Functionen \(z=\varphi\) und \(z=\psi\) dadurch, dass man \[ \sqrt{1+\varphi'^2}= \frac{2\mu a}{\sqrt{a^2-r^2}}+1, \qquad \sqrt{1+\psi'^2}= \frac{2\mu a}{\sqrt{a^2=r^2}}-1 \] und \(\mu=1\) setzt, so erhält man hieraus die obige Fläche von Tannery; \(z=\varphi\) und \(z=\psi\) sind die Gleichungen der beiden Flächenteile, die sich längs des Aequators \(r=a\) stetig aneinander schliessen. Aus dieser Ableitung erkennt man sofort, dass und wie sich unzählige ähnliche Flächen aufstellen lassen, die sich schliessende geodätische Linien besitzen; diese sind jedoch nur in dem erwähnten einfachsten Falle algebraisch.