Problem no. 7 (Q1529834)

Die Aufgabe ist die, den Complex der Geraden zu untersuchen, welche auf sämtlichen durch sieben gegebene Punkte gehenden quadratischen Flächen liegen. Ordnet man jedem Punke \(A\) des Raumes denjenigen zu, welcher mit \(A\) in Bezug auf jede Fläche des Netzes harmonisch liegt, so wird der fragliche Complex von den Verbindungsgeraden \(AA'\) gebildet. Zuerst werden die allgemeinen Eigenschaften des Netzes kurz zusammengestellt. Speciell wird hingewiesen auf die Kegel des Netzes, für deren Scheitel \(p\) der zugeordnete Punkt unbestimmt wird, so dass einem derartigen Punkte eine Gerade zugeordnet erscheint. Die Scheitel \(p\) bilden die Kerncurve \(C^4\). Durch jeden Punkt \(P\) des Raumes geht eine Basiscurve \(R^4\) des Netzes, und jede Sehne dieser Curve enthält ein Punktepaar \(A,A'\). Der Complexkegel in \(P\) ist deshalb dritter Ordnung und sechster Klasse. Die acht Basispunkte \(H_1, H_2,\dots, H_8\) des Netzes sind einfache Hauptpunkte des Complexes. Nähere Untersuchung des Complexkegels eines Punktes \(P\). Lineare Construction desselben. Die Punkte \(A,A'\) bilden auf dem Complexkegel eine Raumcurve siebenten Grades und zwei und zwanzigsten Ranges mit zehn scheinbaren Doppelpunkten. Die Complexcurve in einer beliebigen Ebene \(\pi\) ist dritter Klasse und sechster Ordnung mit neun Spitzen. Die Rückkehrtangenten sind Osculationssehnen der Basiscurven \(R^4\), welche die Ebene \(\pi\) osculiren. Die Construction der Curve hängt von der Lösung einer kubischen Gleichung ab. Dualistische Beziehungen zwischen dem Complexkegel eines Punktes \(P\) und der Complexcurve einer durch \(P\) gehenden Ebene \(\pi\). Singularitäten der Complexkegel und Curven: Complexkegel mit Doppellinie. Durch jeden Punkt \(P\) gehen vier Kegel des Netzes, somit auch vier Netzkegelstrahlen. Jeder derselben kommt auf dem einem einzigen seiner Punkte zugehörigen Complexkegel als Doppellinie vor. Der geometrische Ort dieser singulären Punkte ist eine singuläre Fläche \(S\). Complexkegel mit Rückkehrlinie und mit zwei Doppellinien. Es sind im Complex keine Kegel vorhanden, welche in drei Strahlenbüschel zerfallen sind. Complexcurven mit Doppeltangente und mit zwei oder drei Doppeltangenten. Untersuchung der singulären Fläche \(S\), deren Ordnung und Klasse sich schon beiläufig ergeben haben. Die Doppelcurve setzt sich zusammen aus den 28 Sehnen \(H_i H_k\), den 28 Raumcurven \(Q_{ik}\) dritten Grades, welche durch die sechs übrigen Basispunkte jemals hindurchgehen, und aus der Kerncurve \(C^6\). Die Hauptpunkte des Complexes sind zwölffache Punkte der Fläche \(S\). Weitere Singularitäten und Vergleichung ihrer Zahlen mit den von Hrn. Voss für den allgemeinen Complex dritter Ordnung angegebenen. Die Complexfläche \(V\) einer gegebenen Axe ist zwölften Grades und zwölfter Klasse; die Axe \(l\) enthält 24 pinch-points und ist selbst in 24 pinch-planes enthalten. Für den Büschel der Basiscurven \(R^4\) wird gezeigt, dass der Ort der Inflexionspunkte mit demjenigen der zugeordneten Punkte \(A,A'\) der Netzkegelstrahlen identisch ist, und dass die Enveloppe der Inflexionstangentenebenen die doppelt gezählte Fläche \(S\) ist. Weiter wird die Congruenz der ``doppelten Osculationssehnen'', d. h. der vierundzwanzig jeder \(R^4\) zugehörigen Sehnen, bei denen die Osculationsebenen der beiden Endpunkte die ganze Sehne enthalten, untersucht. Vier Fälle, bei denen die Basispunkte eine besondere Lage haben, werden schliesslich kurz besprochen.