Premiers fondements pour une théorie des transformations périodiques univoques. Mémoire couronné par l'Académie des Sciences de Naples dans le concours pour 1883. (Q1529835)

Bekanntlich gehört zu einer Cremona'schen Transformation im allgemeinen eine endliche Anzahl cyklischer Gruppen mit vorgegebenem Index, d. h. Gruppen, deren Punkte die Eigenschaft haben, dass eine bestimmte Anzahl von Wiederholungen der Transformation aus den Ausgangspunkt zurückführt (Kantor, Annali di Mat. X. 64). Erzeugt jeder Punkt der vereinigten Ebenen einen \(n\)-punktigen Cyklus, so wird die betreffende Transformation ``periodisch'' vom Index \(n\) genannt. Als Preisaufgabe für 1883 hatte nun die Neapolitanische Akademie eine Untersuchung betreffend die Bedingungen für das Auftreten der Periodicität, sowie die Construction der bezüglichen Transformationen verlangt. Damals kannte man ausser den periodischen Collineationen (Homographien), (Battaglini, Lüroth), nur die sogenannten Involutionen, d. h. die periodischen Transformationen mit Index 2 (Bertini, Caporali) und einige Klassen von periodischen quadratischen Verwandtschaften mit beliebigem Index (Kantor). Die vorliegende Arbeit ist eine teilweise umgearbeitete, um vieles bereicherte Wiedergabe der Abhandlung, welche 1884 preisgekrönt wurde. Sie zerfällt in vier Teile. Der erste Teil enthält eine übersichtliche Darstellung der periodischen Collineationen. Viele Methoden und Resultate dieses Abschnitts sind wesentlich neu, darunter eine Methode zur Darstellung der Gleichungen von anallagmatischen Curven, d. h. von Curven, welche durch die betreffende Collineation in sich transformirt werden; sodann eine vollständige Aufzählung der Collineationen, welche eine kubische Curve invariant lassen; hier sind namentlich die Betrachtungen über äquianharmonische Curven neu. Eine Untersuchung der anallagmatischen Büschel von kubischen Curven ist hinzugefügt. Der zweite Teil enthält eine sehr vollständige Theorie der periodischen quadratischen Verwandtschaften, für welche sich das Grundprincip bereits in einer Arbeit des Verfassers ``Zur Theorie der successiven quadratischen Transformationen der Ebene'' (Wiener Ber. LXXXII, F. d. M. XII. 1880. 623, JFM 12.0623.06) findet. Dieses fundamentale Princip lautet etwa: ``Damit eine quadrtische Transformation \(Q_2\) periodisch sei, müssen entweder sämtliche Hauptpunkte des ersten Systems mit denen des zweiten zusammenfallen, oder doch durch wiederholte Anwendung der Transformation auf ihre Lage im zweiten System in die Hauptpunkte des letzteren übergeführt werden können.'' Es ist eine solche Verkettung der Hauptpunkte durch eingeschaltete Punkte notwendig, damit eine Erniedrigung des Grades der transformirten Curven eintrete. Wenn nun die gegenseitige Lage der beiden Hauptpunktetripel so bestimmt werden kann, dass die \(n^{\text{te}}\) Iterirung der Transformation zur Collineation wird, so erübrigt nur, die Bedingung zu suchen, unter welcher diese in eine Identität übergeht. Ebenfalls wichtig für die Untersuchung der periodischen \(Q_2\) sind die periodischen Homographien der Strahlenbüschel, welche je einen der vier Doppelpunkte der \(Q_2\) zum Scheitel haben und dadurch bestimmt erscheinen, dass jedem Strahl die Tangente des Kegelschnitts zugenordnet wird, in welchen er transformirt wird. Zunächst wird eine periodische \(Q_2\) mit Index 6 ausführlich untersucht, wo das Hauptpunktetripel \(a'b'c'\) des zweiten Systems die Hauptpunkte \(a,b,c\) des ersten transformirt wird; je zwei Paare von zugeordneten Hauptpunkten sind ausserdem verkettet durch eine periodische Homographie vom Index 4. Die beiden Tripel bilden zwei vierfach perspective Dreiecke, von welchen aber nur eins beliebig gewählt werden kann. die betreffende \(Q_2\) transformirt eine Gerade der Reihe nach in einen Kegelschnitt \(C_2\), in eine biquadratische Curve \(C_4\) mit drei Doppelpunkten, in eine \(C_5\) mit sechs Doppelpunkten, in eine \(C_4\), eine \(C_2\) und schliesslich wieder in die ursprüngliche Gerade. Die Punkte eines Cyklus bilden ein Briancon'sches Sechsseit. Aus der Fülle von interessanten Theoremen über kubische Curven, welche sich diesen Erörterungen ungezwungen anschliessen, sei Folgendes hervorgehoben. Die sechs Hauptpunkte und drei der Doppelpunkte bilden die Basis eines Büschels äquianharmonischer \(C_3\), welche durch \(Q_2\) involutorisch vertauscht werden; anallagmatisch sind unter ihnen eine eigentliche \(C_3\), sowie die aus den Geraden \(aa'\), \(bb'\), \(cc'\) gebildete ausgeartete Curve; erstere enthält specielle Tripel, welche einer \(C_3\) umbeschrieben sind. Durch Aufstellung von Tabellen, in denen die successiven Transformationen einer Geraden bei vorgegebener ``Charakteristik'' (System von Hauptpunkten und den zu deren Verkettung notwendigen Einschaltungen) angedeutet werden, untersucht der Verfasser die Charakteristiken, bei welchen Periodicität möglich ist, und erhält 13 verschiedene Fälle, welche nun in Bezug auf ihre Existenzfähigkeit des weiteren untersucht werden müssen; Zusammenfallen von Hauptpunkten wurde vorläufig ausgeschlossen. Weil das Verfahren, durch welche die Existenz der oben erwähnten, besonders untersuchten \(Q_2\) dargethan wurde, zu mühsam ist, geht der Verfasser dazu über, sich in einer Voruntersuchung die erforderlichen neuen Hülfsmittel zu schaffen. Er bestimmt nämlich zunächst alle \(Q_2\), welche eine vorgegebene kubische Curve \(C_3\) in sich transformiren. Aus dieser mit grosser Ausführlichkeit und unter Anwendung der Parameterdarstellungen angestellten Untersuchung ergiebt sich, dass für eine periodische \(Q_2\) nur harmonische, äquianharmonische und spitzenbehaftete \(C_3\) als anallagmatische Curven auftreten können. Es wird nun die Existenz der vorher als möglich erwiesenen periodischen \(Q_2\) dadurch sicher gestellt, dass eine \(C_2\) oder eine \(C_3\) ermittelt wird, welche durch \(Q_2\) in sich übergeht. Wenn nämlich die zur betreffenden Charakteristik gehörige Tabelle mit einer Homographie abschliesst, offenbart sich die Periodicität durch die Existenz einer Curve mit periodischen Gruppen. Als weitere Hülfsmittel der Erörterung seien noch erwähnt: a) die Betrachtung der Directionskegelschnitte, welche erzeugt werden durch die Strahlenbüschel, deren Scheitel von dem involutorischen Punktepaar der \(Q_2\) gebildet werden, und wo jedem Strahl des einen die Tangente des entsprechenden Kegelschnittes im anderen Scheitel zugeordnet wird; b) die Anwendung des Theorems: Wenn eine \(Q_2\) die Punkte \(p,q\) in \(p',q'\) umsetzt, giebt es eine Collineation, durch welche \(a,b,c,p,q\) in \(a',b',c',p',q'\) übergehen; c) die Bestimmung der Transformationen, welche die Punkte der Charakteristik verketten; d) das Princip der Transposition, welches den Verfasser in den Stand setzt, die gefundenen \(Q_2\) auf Typen zurückzuführen; dabei wird die aus der Gruppentheorie bekannte Operation \(TST^{-1}\) angewandt, wo nun unter \(T\) und \(S\) quadratische Verwandtschaften zu verstehen sind. Werden alle Transformationen, welche durch Transposition zusammenhängen, durch diejenige dargestellt, welche die kleinste Charakteristik besitzt, so lassen sich schliesslich sämtliche periodischen \(Q_2\) zurückführen auf die nachstehenden Typen: 1) Typus der Homographie mit beliebigem Index; 2) Typus mit Verkettung \(a' a_1'\dots a_m'(\equiv b)\); \(b' b_1'\dots b_m'(\equiv a)\) und Coincidenz von \(c\) und \(c'\); Index \(2(m+1)\); 3)Typus \(b'b_1'\dots b_m'(\equiv a)\), \(a'\equiv b\); \(c\equiv c'\); Index \(2(m+1)\). Vergleichende Betrachtungen über die zahlreichen wesentlich verschiedenen periodischen \(Q_2\) und deren anallagmatische Curven bilden den Schluss des zweiten Abschnittes, der die Seiten 13 bis 177 umfasst. Im dritten Teil (S. 177 bis 262) werden mit Hülfe der oben erwähnten Principien sämtliche kubischen und biquadratischen periodischen Transformationen bestimmt, welche nicht auf Collineationen oder \(Q_2\) zurückgeführt werden können. Nach Ausschluss derjenigen Charakteristiken, welche trotz geeigneter Verkettung der Hauptpunkte keine Periodicität gestatten, gelangt der Verfasser schliesslich zu fünf Typen existirender kubischer Transformationen und nachher zu zwei Typen von biquadratischen Transformationen. Der vierte Teil (S. 262-335) enthält, der Ueberschrift zufolge, die kanonische Lösung des Problems der birationalen periodischen Transformationen; die Anzahl der wichtigen Theoreme ist hier eine so grosse, dass Referent sich auf das Hervorheben der seines Erachtens wichtigeren beschränken muss. Der Verfasser bemerkt, dass es sich hier eigentlich um die Integration eines Systems von Gleichungen mit endlichen Differenzen handelt. Diesem algebraischen Problem substituirt er ein geometrisches, welches er vermittelst der Principien der Verkettung und der successiven Transformationen lösen will; es umfasst einen arithmetischen Teil, wo eine geeignete Bestimmung der Hauptpunkte in Bezug auf Verkettung der Coincidenz derart zu treffen ist, dass die für die Periodicität erforderliche Erniedrigung des Grades der Transformation und der Singularitäten eintreten kann. Der allgemein gehaltenen Lösung des obigen Gleichungssystems entspringt als Bedingung für die Periodicität, dass eine gewisse Determinante nur für Einheitswurzeln verschwinde. Weiter wird bemerkt, dass es niemals Gegenstand einer Problemstellung sein könne, sämtliche Charakteristiken für eine periodische Transformation von vorgegebenem Grade aufzustellen; vielmehr müssen die unendlich vielen möglichen Transformationen in Klassen mit veränderlicher Anzahl eingeschalteter Verkettungspunkte geordnet werden; die übrigen, mit bestimmter Anzahl von Einschaltungen, sind in endlicher Zahl vorhanden. Zu jeder Klasse von Charakteristiken gehört eine primitive Charakteristik, wo sämtliche Hauptpunkte des ersten Systems mit denen des zweiten zusammenfassen; die übrigen werden derivirte Charakteristiken genannt; in ihnen sind Verkettungen durch Coincidenzen ersetzt. Wenn eine periodische Transformation vom Grade \(2m\) ist, müssen ein Punkt und sein \(m^{\text{ter}}\) transformirter einander in einer Involution der Ebene entsprechen; wenn nötig, muss der Begriff der Charakteristik ausgedehnt werden durch Hinzufügung von Doppelpunkten oder periodischen Gruppen. Hier werden die Resultate des Herrn Bertini über Involutionen verwertet. Die Charakteristiken vom Grade \(2m+1\) lassen sich auffassen als Wiederholungen von solchen gerader Ordnung. Es giebt nur eine endliche Zahl birationaler Transformationen, wo die Anzahl der Hauptpunkte in jedem Systeme sechs, sieben oder acht beträgt; diese Zahl wird aber unendlich gross, wenn die Basis der Verwandtschaft mehr als acht Punkte enthält. Bei weniger als neun Hauptpunkten in jedem System liefert jede Charakteristik eine geschlossene Tabelle. Alle Wiederholungen einer periodischen Charakteristik, welche denselben Index wie diese liefern, sind mit dieser Transformation äquivalent; hierzu gehörende Tabellen finden sich am Ende der Arbeit. Der Verfasser widmet nun den Charakteristiken mit sechs, sieben oder acht Punkten eine eingehende Untersuchung, aus welcher hervorgeht, dass sämtliche Charakteristiken mit weniger als neun Punkten mittels Transpositionen sich in 27 Klassen ordnen lassen, denen noch sechs quadratische, drei kubische, eine biquadratische Transformation, sowie die Homographien zugestellt werden müssen. Der folgende Paragraph bringt eine arithmetische Theorie der Charakteristiken birationaler Transformationen. Unter Singularitätencomplex einer Curve \(C_n\) versteht der Verfasser das System der Zahlen \(y_k\), welche angeben, wie oft die Curve durch jeden der Hauptpunkte geht. Es wird ein Gleichungssystem aufgestellt für die Aenderung, welche dieser Complex durch die Transformation erfährt. Diese linearen Substitutionen mit reellen, ganzen Coefficienten lassen die Formen \(n(n+3)- \varSigma y(y+1)\) und \((n-1) (n-2)- \varSigma y(y-1)\) invariant. Hieraus ergiebt sich dieselbe Eigenschaft für die Formen \(3n- \varSigma y\), \(n^2- \varSigma y^2\) und \(mm'- \varSigma y_k y_k'\), wo \(m\) und \(m'\) die Grade der Transformation sind. Jede lineare Substitution mit birationaler Matrize (wie sie der Verfasser nennt) kann erzeugt werden durch wiederholte Anwendung der einfachsten Substitution: \[ \begin{aligned} n'&= 2n-y_1-y_2-y_3,\\ y_1'&= n-y_2-y_3,\\ y_2'&= n-y_3-y_1,\\ y_3'&= n-y_1y_2. \end{aligned} \] In diesem Paragraphen werden gewisse Theoreme des Herrn Frobenius (J. für Math. LXXXIV) in Anwendung gebracht. Als Grundlage für die Untersuchungen über Reductibilität der Transformationen wird eine charakteristische Function benutzt, deren Aenderungen durch Substitutionen ermittelt werden. Ein weiteres Hülfsmittel bilden die anallagmatischen Singularitätencomplexe, d. h. Wertsysteme, welche durch die oben erwähnten fundamentalen Substitutionen in sich transformirt werden. Es wird bewiesen, dass es stets solche Complexe giebt. Die Untersuchung gipfelt in der Aufgstellung von zwei wichtigen Theoremen (S. 313-315), deren erstes sämtliche periodischen Charakteristiken durch Typen, mit ihren Matrizen, aufzählt, während das zweite Theorem die wirklich existirenden unter ihnen hervorhebt. Letztere bilden drei Hauptgruppen: a) die periodischen Homographien (mit gewissen Beschränkungen in den sie darstellenden Substitutionscyklen); b) gewissen Transformationen \(n^{\text{ten}}\) Grades mit zwei zusammenfallenden \((n-1)\)-fachen Hauptpunkten; c) 27 vereinzelte, auch im ersten Theorem aufgezählte Transformationen. Es ist hier zu bemerken, dass der Existenzbeweis der unter b) erwähnten Verwandtschaften erst später erbracht wird. Ein weiterer Paragraph handelt über die uneigentlichen Gruppen. Jede Transformation enthält nämlich eine bestimmte Anzahl periodischer Gruppen mit vorgegebenem Index; diese Anzahl kann durch Verkettung der Coincidenz der Hauptpunkte verringert werden; die Basispunkte der Verwandtschaft bilden alsdann gewisse uneigentliche Gruppen. Eine Untersuchung der zu den Transformationen des Hrn. de Jonquières gehörenden Matrizen, mit und ohne Coincidenz der vielfachen Hauptpunkte und in Bezug auf Periodicität, liefert sodann schliesslich den oben erwähnten Beweis. Den Abschluss der in jeder Beziehung reichhaltigen und interessanten Abhandlung bildet eine Betrachtung über Gruppen von Charakteristiken und Transformationen.