Ueber das Kowalevski'sche Rotationsproblem. (Q1529992)

Siehe auch JFM 24.0889.01. Der von Frau von Kowalevski behandelte neue Fall der Bewegung eines schweren Körpers um einen festen Punkt ist dadurch charakterisirt, dass zwei der Hauptträgheitsmomente einander gleich und doppelt so gross wie das dritte sind, dass ferner der Schwerpunkt in der Ebene der Axen gleichen Trägheitsmomentes liegt. Vermittelst der vier algebraischen Integralgleichungen des Problems, von denen die vierte dem behandelten Falle eigentümlich angehört, hat Frau von Kowalevski die Componenten der Rotationsgeschwindigkeit und die Richtungscosinus zwischen den Axen des Körpers und der Verticale durch hyperelliptische Functionen ausgedrückt, deren beide Argumente sich als lineare Functionen der Zeit ergeben. Bezüglich der sechs anderen Richtungscosinus giebt sie an, sie habe sich überzeugt, dass dieselben sich rational durch Thetafunctionen darstellen lassen; sie verzichte jedoch auf eine wirkliche Darstellung derselben in Anbetracht der zu erwartenden Schwierigkeiten der Rechnung. Diese Schwierigkeiten hat Hr. Fr. Kötter durch Umformung der Ausdrücke seiner Vorgängerin glücklich beseitigt. Die genaue Betrachtung aller zu beachtenden Formeln brachte ihn zur Einsicht, dass es vorteilhaft ist, statt der Bewegung des mit dem Körper verbundenen Coordinatensystems diejenige eines dritten Coordinatensystems zu untersuchen, dessen eine Axe stets mit der ausgezeichneten Axe des Körpers zusammenfällt. Die relative Bewegung des Körpers gegen dieses Coordinatensystem ist also eine Drehung um eine Axe; die Geschwindigkeit dieser Drehung ist halb so gross wie die Componente der Rotationsgeschwindigkeit des Körpers nach der gemeinschaftlichen Axe des Körpers und des neu eingeführten Coordinatensystems. Die Richtungscosinus dieses neuen Systems sind Brüche, deren Zähler und gemeinsamer Nenner linear und homogen aus je drei hyperelliptischen Functionen zusammengesetzt sind. Die Componetnen der Rotationsgeschwindigkeit des Systems nach seinen eigenen Axen erhält man aus den entsprechenden Richtungscosinus, indem man im Zähler die Coefficienten durch andere ersetzt. Ganz wesentlich ist nun, dass die Coefficienten der in Frage stehenden Ausdrücke sich ebenfalls durch hyperelliptische Functionen darstellen lassen, deren Argumente naturgemäss constante Grössen sind. So erhält man die Richtungscosinus und die Componenten der Rotatinsgeschwindigkeit als Functionen von vier Argumenten. Die Form dieser Ausdrücke führt auf die gerechtfertigte Vermutung, dass die drei Richtungscosinus \(\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3\) als Functionen der beiden Wertepaare \(v_1, v_2\) und \(v_1', v_2'\) denselben partiellen Differentialgleichungen genügen, welche auch für die Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssigkeit von Wichtigkeit sind. Die Existenz dieser Differentialgleichungen ermöglicht nun eine Bestimmung der noch fehlenden Richtungscosinus in derselben Weise, wie Hr. Kötter bei der Bewegung eines gewissen festen Körpers in einer Flüssigkeit verfahren ist. Die Einzelheiten der Rechnung und die Formeln selbst sind in der ausführlichen Abhandlung nachzulesen. Zum Schlusse wird auf den merkwürdigen Umstand hingewiesen, dass die beiden Bewegungen, in welche die Rotation des Körpers zerlegt worden ist, einem allgemeinen Typus angehören, von welchem andere specielle Fälle die Poinsot'schen Bewegungen und die Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssigkeit sind, welchen letzteren Fall der Verf. in einer Abhandlung im CIX. Bande des Journals für Mathematik behandelt hat (vergl. F. d. M. XXIII. 1891. 977 ff., JFM 23.0977.01).