A treatise on the mathematical theory of elasticity. Vol. I. (Q1530065)

In der Vorrede sagt der Verfasser: Das Ziel dieses Buches ist, einen zusammenhängenden Bericht über den jetzigen Stand der Theorie und über den Weg, auf welchem derselbe erreicht ist, zu geben, indem einerseits blosse analytische Entwickelungen und andererseits rein technische Details vermieden werden. Referent muss nach sorgfältiger Prüfung des vorliegenden Werkes anerkennen, dass dieses Ziel völlig erreicht ist. Die Auseinandersetzungen sind klar, scharf und leicht verständlich, so dass das Buch sehr geeignet erscheint, in die Elasticitätstheorie einzuführen. Eine historische Einleitung und passend angebrachte zahlreiche Citate werden denen erwünscht sein, welche auf die Quellen zurückzugehen wünschen. Der vorliegende erste Band enthält ausser den allgemeinen Grundlagen der Theorie einen Teil der Anwendungen. Der Verfasser teilt nämlich die Gesamtheit der Aufgaben entsprechend dem jetzigen Stande der Wissenschaft in zwei Klassen. Bei den einen werden die Differentialgleichungen der Elasticität in aller Strenge erfüllt, während das bei den andern, welche sich auf Körper beziehen, in denen eine oder zwei Dimensionen unendlich klein sind, nicht der Fall ist. Die letzteren hat der Verfasser in dem zweiten Bande, welcher im folgenden Bande des Jahrbuchs zu besprechen ist (siehe JFM 25.1555.09), behandelt. Dass die anderen mit grosser Vollständigkeit im ersten Bande behandelt werden, wird eine Inhaltsangabe zeigen. Nach der oben erwähnten historischen Einleitung wird zunächst die Deformation des Körpers analysirt (Analygis of strain); dann werden im zweiten Capitel die allgemeinen Beziehungen zwischen den äusseren und inneren Kräften aufgestellt, welche von der Beschaffenheit des Körpers unabhängig sind. Im folgenden Abschnitt werden hierauf nach dem verallgemeinerten Hook'schen Gesetz die Druckkräfte gleich linearen Functionen der sechs Deformationscomponenten gesetzt. Bei isotropen Substanzen werden die Differentialgleichungen für die Componenten der Verrückung wirklich aufgeschrieben. Die Zahl der Constanten -- ursprünglich gleich 36 -- wird zunächst durch die Voraussetzung eines elastischen Potentials auf 21 herabgedrückt und dann für die einzelnen Krystallsysteme noch weiter reducirt. Im vierten Capitel, welches die Ueberschrift ``Festigkeit (strength) der Materialien'' trägt, bespricht der Verfasser verschiedene Eigenschaften, welche einer mathematischen Behandlung bisher nicht zugänglich sind, wie Elasticitätsgrenze, Plasticität, elastische Nachwirkung u. a. Danach werden zunächst allgemeine Theoreme besprochen. Die Druckcomponenten werden nach der Molecularhypothese im Anschluss an Cauchy durch die Componenten der Deformation ausgedrückt. Ferner wird der Beweis von Sir William Thomson für die Existenz einer Energiefunction mitgeteilt. Nachdem dann noch Betti's Theorem über den Zusammenhang zweier Zustände desselben Körpers unter Einfluss zweier verschiedenen Systeme von Kräften und mehrere Anwendungen dieses Satzes besprochen sind, behandelt der Verfasser die Fortpflanzung der Wellenbewegung. Das Capitel VI giebt die erste Anwendung der Theorie auf ein besonderes Problem. Es handelt von dem Gleichgewicht der Balken. Vorausgesetzt wird, dass nur auf die Enden äussere Kräfte wirken, und dass in den Flächenelementen, welche der Axe parallel sind, auch die Spannung der Axe parallel ist, so dass also \(X_x\), \(X_y\), \(Y_y\) -- in Kirchhoff's Bezeichnung -- gleich Null sind. Nachdem alsdann die Berechnung der Verrückungscomponenten auf die Bestimmung einer Potentialfunction zurückgeführt ist, behandelt der Verfasser die einzelnen Arten der Deformation. Den Schluss dieses Capitels bildet die Besprechung besonders wichtiger Specialfälle. Die Einführung der krummlinigen Coordinaten füllt das siebente Capitel. Für einige besondere Fälle werden die Formeln ohne Beweis, welcher dem Leser zu seiner Hebung überlassen bleibt, mitgeteilt. Im achten Capitel beschäftigt sich der Autor mit der allgemeinen Lösung der Elasticitätsgleichungen. Die folgenden Capitel beschäftigen sich wieder mit besonderen Problemen. Zunächst wird die Aufgabe gelöst, die Deformationen eines von einer Ebene begrenzten, sonst aber unendlich ausgedehnten Körpers zu finden. Dann wird das Gleichgewicht einer elastischen Kugel behandelt. Ferner werden die Schwingungen kugelförmiger und hohlkugelförmiger Körper erledigt. Zum Schluss behandelt der Verfasser das Problem des elastischen Gleichgewichts in dem von Herrn Wangerin entdeckten Fall eines elastischen Körpers, für welchen sich die Laplace'sche Gleichung lösen lässt.