On the instability of cylindrical fluid surfaces. (Q1530129)

Siehe JFM 24.0972.03. Wenn die Gleichgewichtsoberfläche \(r= a\) eines langen Flüssigkeitscylinders etwas deformirt wird, so dass sie \(r=a+\alpha\cos kz\) wird (\(z\) parallel der Axe), so ist die Deformation nach Plateau stabil oder instabil, je nachdem \(ka\) grösser oder kleiner als 1 ist, d. h. je nachdem die Wellenlänge \(\lambda\) der Erweiterung (varicosity) kleiner oder grösser als der Cylinderumfang \(2\pi a\) ist. Allein die Lösung der bloss statischen Aufgabe ist nicht ausreichend für die Anwendung auf das wichtige Problem des Zerfalles eines Flüssigkeitsstrahles. Eine Deformation von irgend einer Wellenlänge, die über \(2\pi a\) hinausgeht, wächst exponentiell mit der Zeit \((e^{qt})\), und was gefordert wird, ist die Beziehung zwischen \(q\) und \(\lambda\); ein Wert von \(\lambda\), wenn irgend einer, für den \(q\) ein Maximum ist, bestimmt die Art der grössten Instabilität. Als eine der Capillarität widerstrebende Kraft scheint Plateau nur die Zähigkeit berücksichtigt zu haben, aber in dem Falle der aus Flüssigkeiten wie Wasser gebildeten Strahlen dürfte der Einfluss der Zähigkeit klein ausfallen und die Trägheit eine führende Rolle übernehmen. Versuche über das Verhalten feiner Syrupsfäden auf Papier, die sich langsam in Tropfen auflösen von ähnlichem Aussehen, wie die aus einem Wasserstrahle erhaltenen, wiesen darauf hin, dass unter dem alleinigen Einflusse der Zähigkeit die Auflösungsart nahezu dieselbe sein würde wie unter dem alleinigen Einflusse der Trägheit. Doch war das Resultat sehr verschieden, und die von der Papierunterlage ausgeübten verzögernden Kräfte dürften von einem ganz anderen Charakter sein als die von der blossen Zähigkeit des Flüssigen herrührenden. Zur Darstellung solcher Contactkräfte wird das Problem hier in der Form betrachtet, die es annimmt, wenn die Widerstände proportional den absoluten Geschwindigkeiten der Teile sind, und das Ergebnis beleuchtet das Verhalten der Syrupsfäden in Berührung mit dem Papiere, indem es einen markirten Unterschied zwischen diesem Falle und dem eines Fadens zeigt, dessen Zerfallen nur an der wirklichen Zähigkeit des Flüssigen einen Widerstand findet. Die radialen und axialen Geschwindigkeiten \(u\), \(\omega\) können als aus einem Geschwindigkeitspotential abgeleitet genommen werden: \(u=\partial\varphi/\partial r\), \(\omega=\partial\varphi/\partial z\). Ist der Widerstand das \(\mu'\)-fache der Geschwindigkeit, so ist im gegenwärtigen Falle der Druck \(p =-\mu'\varphi-\varrho d\varphi/dt\). Die Gleichung für das Geschwindigkeitspotential wird \[ \frac{d^2\varphi}{dr^2}+\frac 1r\;\frac{d\varphi}{dr}-k^2\varphi=0, \] indem die die Bewegung definirenden Grössen als Functionen von \(z\) zu \(e^{ikz}\) und als Functionen von \(t\) zu \(e^{int}\) proportional sind, wo \(k\) reell ist, \(n\) aber complex sein kann. Für \(\varphi\) ist die Lösung \[ \varphi= Ae^{i(nt+kz)}J_0(ikr), \] während \(p=-(\mu'+in\varrho)\varphi\). Die Grenzbedingung für \(r=a\) giebt, da der variable Teil des Druckes von der Spannung \(T\) herrührt, die constant vorausgesetzt wird: \[ \frac{T}{\varrho a^3}\cdot\frac{(k^2a^2-1)ikaJ_0'(ika)}{J_0(ika)}+in(in+\mu'/\varrho)=0, \] d. h. eine quadratische Gleichung zur Bestimmung von \(n\). Ist daher \(\mu' = 0\), so ist die Verrückung exponentiell instabil, falls \(ka < 1\), periodisch, falls \(ka>1\); ist dagegen die Trägheit im Vergleich zur Zähigkeit zu vernachlässigen, so folgt \[ in=\frac{T}{\varrho a^3}\;\frac{ika(1- k^2a^2)J_0'}{\mu'/\varrho.J_0}\,, \] so dass die Instabilität am grössten ist, wenn \(ka\) denselben Wert hat wie im vorigen Falle. Im allgemeinen Falle ist die Verrückung bei \(ka < 1\), instabil, bei \(ka > 1\) stabil. Die Untersuchung für eine wirkliche zähe Flüssigkeit ist complicirter, da ja ein Geschwindigkeitspotential nicht existirt. Dieser Fall wird ebenfalls erörtert, doch können wir kaum darüber berichten, weil dies zu grossen Raum beanspruchen würde. Es möge jedoch ausgesprochen werden, dass das Ergebnis darauf hinauskommt, zu zeigen, dass, wenn die Zähigkeit überwiegt, lange Fäden nicht danach streben, sich in Tropfen in gegenseitigen Abständen aufzulösen, die mit dem Durchmesser des Cylinders vergleichbar sind, sondern dass sie vielmehr durch Verdünnung an wenigen und entfernten Stellen nachgeben. Eine Trennung in zahlreiche Tropfen kann als augenscheinlicher Beweis dafür angenommen werden, dass die Fluidität ausreichend war, um die Trägheit in Thätigkeit zu versetzen. In der zweiten Abhandlung wird der Fall, bei dem die Trägheit nicht des Flüssigen an der Aussenseite, sondern desjenigen an der Innenseite vernachlässigt werden kann, besonders betrachtet, ein Fall z. B. der Auflösung eines Luftstrahles unter Wasser.