On a problem which may be useful in geodesy (Q1530393)

Wenn man die Ausgleichung eines Dreiecksnetzes, worin Richtungen gemessen sind, zu vereinfachen versucht, indem man die Ausgleichung in zwei Teile zerlegt nach der von Schleiermacher für den Fall, wo Winkel gemessen sind, angegebenen Methode, so gerät man auf die nachstehende Aufgabe: Für jedes der Dreiecke eines beliebigen Dreiecksnetzes eine Zahl zu finden, derart dass jedesmal die Summe der Ueberschüsse dieser Zahl über diejenige der drei anschliessenden Dreiecke einen gegebenen Wert hat, wobei für den Fall, dass ein Dreieck an weniger als drei andere sich anschliesst, als Wert jener Zahl für jedes der fehlenden Dreiecke die Null angenommen werde. Unter einigen einfachen Annahmen wird eine Lösung dieses Problems mitgeteilt, die in dem speciellen Falle einer einzigen Dreieckskette fast ganz mit der von Hrn. P. Simon in den ``Gewichtsbestimmungen für Seitenverhältnisse in schematischen Dreiecksnetzen'' veröffentlichten übereinstimmt. Bei einem in bestimmtem Sinne durchlaufenen Netze, wo jedes Dreieck nur an ein vorhergehendes und ein nachfolgendes sich anschliesst, wird eine Beziehung zwischen den drei gesuchten Zahlen für drei beliebig daraus gewählte Dreiecke hergeleitet. Denkt man sich die Dreiecke der Reihe nach mit Indices versehen, und wählt man aus dem Netze diejenigen mit den Indices \(p-q\), \(p\) und \(p + q'\); bezeichnet man weiter die zu diesen Dreiecken gehörigen gesuchten Zahlen mit mit \(\kappa_{p-q}\), \(\kappa_p\) und \(\kappa_{p+q'}\), die gegebenen Werte der Summe der Ueberschüsse mit \(a_{p-q}\), \(a_p\), \(a_{p+q}\), so besteht die Identität: \[ 3\kappa_{p-q+k}-\kappa_{p-q+k+1}-\kappa_{p-q+k-1}=a_{p-q+k}, \] wenn \(k=1, 2,\dots, q+q'-1\). Wählt man hieraus die zu \(k=1, 2,\dots, q\) gehörigen Gleichungen und multiplicirt dieselben der Reihe nach mit \(z^k\), wo \(z\) eine beliebige Grösse ist, so lässt die Summe dieser Producte durch die Annahme \(1-3z+z^2=0\) sich bedeutend vereinfachen. Setzt man noch \(\cos 2\alpha=\frac32\), so sind \(e^{\pm2ia}\) die beiden Wurzeln der Gleichung in \(z\), und aus den beiden mit diesen Wurzeln, correspondirenden Gleichungen kann nun \(\kappa_{p-q+1}\) eliminirt werden, wodurch sich ergiebt: \[ \kappa_{p-q}\sin 2\alpha-\kappa_p\sin 2(q+1)a+\kappa_{p+1}\sin 2q\alpha = -\sum^q_1{}_k a_{p-q+k} \sin 2k\alpha. \] In gleicher Weise erhält man aus der Identität \[ 3\kappa_{p+q'-k}-\kappa_{p+q'-k-1}-\kappa_{p+q'-k+1}=a_{p+q'-k} \] für \(k = 1,2,\dots,q'-1\) die Relation \[ \kappa_{p + q'}\sin 2\alpha -\kappa_{p+1}\sin 2q'\alpha+\kappa_p\sin 2(q'-1)\alpha = - \sum^{q'-1}_{1} a)_{p+q'-k}\sin 2 k\alpha, \] und in Verbindung mit dem vorigen Resultat kann nun \(\kappa_{p+1}\) eliminirt werden, so dass eine Beziehung zwischen \(x_{p-q}\), \(\kappa_q\), \(\kappa_{p+q'}\) übrig bleibt. Diese Formel wird nun zunächst auf eine einfache Dreieckskette und einen Dreiecksring angewandt. Erweiterung der Resultate für den Fall, wo sich ausserdem Querdreiecke anschliessen, welche nicht unter einander oder mit anderen Dreiecken zusammenhängen. Voller Dreiecksring mit an die Aussenseite anschliessendem Ring. Ring von Dreiecksringen. Zwei Dreiecksketten neben einander.