Sur les systèmes linéaires, le calcul des symboles différentiels et leur application à la physique mathématique. (Q1530765)

Die Arbeit enthält in ihrem ersten Teile eine weitere Ausführung der von Laguerre (1867) begründeten Theorie der ``linearen Systeme''. Sind \(J_1,\;J_2,\;J_3\) drei auf einander senkrechte Axen im Raume, so sind im Sinne der Streckenrechnung zwei Vectoren \(X\) und \(Y\) dargestellt durch die Gleichungen \[ X=x_1J_1+x_2J_2+x_3J_3,\quad Y=y_1J_1+y_2J_2+y_3J_3. \] Sind dann die Zahlen \(y_1,\;y_2,\;y_3\) mittels des ``linearen Systems'' von neun Coefficienten \(a_{rs}\;(r,\;s=1,\;2,\;3)\) als lineare Functionen von \(x_1,\;x_2,\;x_3\) ausgedrückt, so wird dieser Zusammenhang zwischen \(X\) und \(Y\) durch die Gleichung \(Y=\varphi (X)\) dargestellt, und \(\varphi (X)\) eine Vectorfunction genannt. Während aber Laguerre das Zeichen \(\varphi\) nur in algebraischem Sinne auffasst, betrachtet der Verf. dasselbe als ein geometrisches Operationssymbol, welches den Vector \(X\) in \(Y\) überführt, und vervollständigt den von Laguerre nur für Addition, Subtraction und Multiplication ausgeführten Algorithmus dieses Symbols durch Hinzufügung der Potenzirung, Reihenentwickelung, Umkehrung, Division, Radicirung und beliebiger Functionsbeziehungen. Bemerkenswert ist, dass schon Hamilton diesen Calcul ohne Beweis auf die Quaternionen anwendet, dass der Verf. seine streng folgerichtige Ableitung desselben ohne Hülfe der Quaternionen ausführt, und dass die vereinfachende Wirkung der letzteren um so mehr auf die Vectorfunction zurückzuführen ist, da die Quaternion selbst nur als specieller Falle der für das vierdimensionale Gebiet aufgestellten Vectorfunction erscheint, wobei das zugehörige lineare System statt 16 nur vier verschiedene Coefficienten enthält, die das Bild einer schiefen Determinante geben. Es folgen Invarianten und Determinanten der Vectorfunction, die Bedingungen des Verschwindens und des Constableibens einer Richtung, Auflösung der Vectorgleichung, conjugirte und symmetrische Vectorfunctionen, Anwendung auf beliebige Functionen der Coordinaten in der analytischen Geometrie, auf geometrische Aufgaben, u. s. w. Ueberall tritt die vereinfachende Kraft der Vectorfunction auf das deutlichste hervor. Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit den Differential-Eigenschaften der Vectorfunctionen, die der Verf. zum Teil schon in einer früheren Arbeit (Formules de quaternions; vgl. F. d. M. XXII. 1890. 292, JFM 22.0292.01) behandelt hatte. Hier tritt in erster Linie die Bedeutung des Operationssymbols ``Delta'' \((\nabla)\) hervor, definirt durch die Formel \[ \nabla =J_1\;\frac d{dx_1}+J_2\;\frac d{dx_2}+J_3\;\frac d{dx_3}\cdot \] Dasselbe kann gleichzeitig als Zeichen der Ableitung und als Vector aufgefasst werden und wird, wenngleich bereits von anderen Autoren eingeführt, hier zum ersten Male systematisch behandelt. Mit Hülfe dieser Theorie werden zwei allgemeine Formeln aufgestellt, um die in der mathematischen Physik auftretenden einfachen, doppelten und dreifachen Integrale in einander überzuführen. Im dritten Teile wird als Anwendung des Vorhergehenden eine neue Darstellung der von Duhamel aufgestellen Theorie der Wärmeleitung in Krystallen gegeben, wobei sich herausstellt, dass die von Lamé ausgeführte Verallgemeinerung dieser Theorie entbehrlich ist, und dass die von ihm benutzten neun Coefficienten auf die sechs von Duhamel verwendeten zurückgeführt werden müssen. Die Arbeit im ganzen macht den Eindruck einer wesentlich vervollkommneten und vereinfachten Darstellung derjenigen Principien der Quaternionen-Theorie, welche ihrer methodischen Vorteile wegen als dauernd lebensfähig anerkannt werden dürfen. Von dieser Darstellung zu derjenigen der Ausdehnungslehre ist nur noch ein Schritt, den der Verf., wie aus weiteren Berichten ersichtlich sein wird, auch alsbald gethan hat. Die vorliegende Arbeit zeichnet sich durch hervorragend lichtvolle und übersichtliche Schreibweise aus.