Ricerche di geometria della retta nello spazio a quattro dimensioni. (Q1531003)

Im vierdimensionalen Raume \(R_4\) kann man eine beliebige Gerade entweder als Verbindungslinie zweier Punkte \(x,\;y\) ansehen, oder als Durchschnitt dreier dreidimensionalen Räume \(\xi ,\;\eta ,\;\zeta\). Betrachtet man die Gerade als Strahl, so nimmt man als ihre homogenen Coordinaten zehn Grösse, welche den folgenden zweireihigen Determinanten proportional sind: \[ r_{ik}=-r_{ki}=x_iy_k-x_ky_i \quad (i, k=1, 2,\dots, 5); \] diese Coordinaten sind durch quadratische Gleichungen folgender Form unter einander verbunden: \[ r_{ik}r_{lm}+r_{il}r_{mk}+r_{im}r_{kl}=0, \] von denen drei unabhängig sind; diese Bedingungsgleichungen führen die homogenen Coordinaten einer der \(\infty^6\) Geraden von \(R_4\) auf sieben unabhängige zurück. Betrachtet man die Gerade als Axe, so nimmt man als ihre homogenen Coordinaten die dreireihigen Determinanten, die in der Matrize enthalten sind, welche die Coordinaten von \(\xi ,\;\eta ,\;\zeta\) bilden. In Folge eines wohlbekannten Satzes von Clebsch (Gött. Abh. XVII; vgl. F. d. M. IV. 1872. 62, JFM 04.0062.03) sind die Coordinaten der ersten Art den Coordinaten der zweiten Art proportional. Einer homogenen Gleichung ersten Grades zwischen den homogenen Coordinaten einer Geraden in \(R_4\) genügen \(\infty^5\) Gerade, welche einen ``linearen Complex'' \(C_5\) bilden. Dieser wird durch neun beliebige seiner Geraden bestimmt. Alle Geraden von \(C_5\), welche durch einen Punkt von \(R_4\) gehen, bilden einen Strahlenbündel, sind daher in einem dreidimensionalen Raum \(R_3\) enthalten; in Folge dessen bestimmt \(C_5\) in \(R_4\) ein Nullsystem. Dieses ist singulär, daher gehen die den Punkten von \(R_4\) entsprechenden \(R_3\) durch einen festen Punkt \(a\) (den ``Mittelpunkt'' des Complexes). Jede durch \(a\) gehende Gerade gehört dem Complexe an; projicirt man \(C_5\) aus \(a\) auf einen dreidimensionalen Raum, so erhält man in ihm einen gewöhnlichen linearen Strahlencomplex. \(C_5\) kann ``speciell'' sein; in diesem Falle besteht er aus allen den Geraden von \(R_4\), welche eine bestimmte Ebene \(R_2\) schneiden. Die Gleichung \[ (1)\quad \sum_{ik} (\lambda a_{ik} +\mu b_{ik})r_{ik} \] stellt, wenn das Verhältnis \(\lambda :\mu\) alle möglichen Werte annimmt, \(\infty^1\) lineare Complexe dar, welche einen ``Büschel'' bilden. Die \(\infty^4\) Geraden, welche den Complexen des Büschels gemeinschaftlich sind, bilden ein Strahlensystem \(C_4\), welches durch acht beliebige seiner Geraden bestimmt wird. Durch jeden Punkt von \(R_4\) geht im allgemeinen ein Büschel von Geraden von \(C_4\); es giebt jedoch \(\infty^1\) singuläre Punkte, von denen jeder der Mittelpunkt eines in \(C_4\) enthaltenen Strahlenbüschels ist, wie auch der Mittelpunkt eines Complexes des Büschels; der Ort der singulären Punkte von \(C_4\) ist ein Kegelschnitt. Einige Büschel bieten merkwürdige Besonderheiten dar; der Verf. zählt drei Arten derselben auf. Aehnlich stellt die Gleichung \[ (2)\quad \sum_{ik} (\lambda a_{ik}+\mu b_{ik}+\nu c_{ik})r_{ik}=0, \] wenn die Verhältnisse \(\lambda :\mu :\nu\) alle möglichen Werte annehmen, \(\infty^2\) Complexe dar, welche ein ``Netz'' bilden. Die \(\infty^3\) Geraden, welche den Complexen des Netzes gemeinschaftlich sind, bilden ein Strahlensystem \(C_3\), welches durch sieben beliebige seiner Geraden bestimmt ist. Durch jeden Punkt von \(R_4\) geht im allgemeinen eine Gerade von \(C_3\); es giebt jedoch \(\infty^2\) singuläre Punkte, von denen jeder der Mittelpunkt eines in \(C_3\) enthaltenen Strahlenbüschels ist, wie auch der Mittelpunkt eines Complexes des Netzes; der Ort der singulären Punkte von \(C_3\) ist die ``Brennfläche'' \(F\) dieses Systems; sie ist eine Fläche vierter Ordnung, welche durch die \(R_3\) von \(R_4\) in rationalen Curven geschnitten wird, und die allgemeinste, welche auf einer Ebene durch ein lineares System von \(\infty^4\) Kegelschnitten eindeutig abbildbar ist; alle Geraden von \(C_3\), und sie allein, sind dreifach schneidende Gerade von \(F\). Einige ``specielle'' Netze bieten merkwürdige Besonderheiten dar; der Verf. zählt sechs Arten derselben auf. Endlich stellt die Gleichung \[ (3)\quad \sum_{ik} (\lambda a_{ik}+\mu b_{ik}+\nu c_{ik}+\varrho d_{ik})r_{ik}=0, \] wenn die Verhältnisse \(\lambda :\mu :\nu :\varrho\) alle möglichen Werte annehmen, \(\infty^3\) Complexe dar, unter denen fünf specielle sind. Die \(\infty^2\) Geraden, welche allen diesen Complexen gemeinschaftlich sind, bilden ein Strahlensystem \(C_2\); jeder Punkt einer Geraden von \(C_2\) ist der Mittelpunkt einer der betrachteten Complexe. Daher bilden diese Mittelpunkte eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit \(V\); sie ist dritter Ordnung, lässt 6!=720 projective Verwandtschaften in sich selbst zu, enthält fünf Ebenen und hat zehn Punkte, welche zu vieren auf jenen Ebenen verteilt sind; endlich gehen durch jeden Punkt von \(V\) sechs Gerade von \(C_2\), welche auf einem Quadrikegel gelegen sind. Dadurch wird der Verf. in ein Untersuchungsgebiet geführt, auf dem er schon mit Herrn Segre zusammengetroffen ist (vgl. F. d. M. XIX. 1887. 673, JFM 19.0673.01; XX. 1888. 662, JFM 20.0662.01, und 669, JFM 20.0669.01; JFM 20.0669.02), und ergreift diese günstige Gelegenheit, um zu seinen früheren Resultaten neue günstige Gelegenheit, um zu seinen früheren Resultaten neue wichtige Beiträge zu geben; dieselben verbreiten vieles Licht über gewisse wohlbekannte Forschungen, welche die Gleichungen fünften und sechsten Grades betreffen. Es genüge, den folgenden Satz anzuführen, welcher ungemein bemerkenswert erscheint: Ist eine beliebige Form sechsten Grades gegeben, so kann man auf \(V\) einen Punkt finden, so dass die sechs Geraden von \(C_4\), welche durch ihn gehen, auf dem Quadrikegel, welchem sie angehören, ein Sextupel bilden, einzig, wenn die Ordnung des Entsprechens zwischen den Erzeugenden des Kegels und den Wurzeln der Form von vorn herein gegeben ist; im entgegengesetzten Falle kann der Punkt 720 Lagen annehmen, welche aus einer derselben durch die 720 projectiven Transformationen von \(V\) in sich selbst entstehen. Die Coordinaten dieser Punkte sind, wenn man von ihrer Ordnung absieht, die Werte der Function, welche Herr Joubert (C. R. I Halbjahr 1867, 1025 und 1081) aus den Wurzeln der Form sechsten Grades gebildet hat. Die Gleichung \[ (4)\quad \sum_{ik} \varrho_{ik} r_{ik}=0 \] stellt einen linearen Strahlencomplex \(C_5\) dar, wenn die \(\varrho_{ik}\) feste Werte und die \(r_{ik}\) Liniencoordinaten sind; in diesem Falle können die \(\varrho_{ik}\) als Coordinaten des Complexes angesehen werden. Betrachtet man aber die \(r_{ik}\) als constant und die \(\varrho_{ik}\) als Coordinaten einer Ebene in \(R_4\), so stellt sie die duale Figur von \(C_5\) dar, d. h. einen Ebenencomplex \(\varGamma_5\) in \(R_4\), von dem die \(r_{ik}\) als Coordinaten gelten. Und falls die Coordinaten von \(C_5\) und \(\varGamma_5\) durch die Gleichung (4) verbunden sind, so können die Complexe \(C_5\) und \(\varGamma_5\) ``conjugirt'' oder ``apolar'' genannt werden. Wie \(C_5\) einen Mittelpunkt besitzt, so hat \(\varGamma_5\) einen ``Centralraum'' \(\alpha\). Die Geraden von \(C_5\), welche sich in \(\alpha\) befinden, bilden einen gewöhnlichen linearen Complex \(C\); einen anderen Strahlencomplex \(\varGamma\) bilden die Geraden von \(\alpha\), welche Axe von Ebenenbündeln sind, deren Elemente \(\varGamma_5\) angehören; sind nun \(C_5\) und \(\varGamma_5\) conjugirt, so sind \(C\) und \(\varGamma\) (nach der Klein'schen Bezeichnung) in Involution. Aus der Bedingungsgleichung (4) erfährt man, dass zu jedem System von \(\infty^r\;(r<8)\) linearen Geraden- (oder Ebenen-) Complexen ein System von \(\infty^{8-r}\) linearen Ebenen- (oder Geraden-) Complexen conjugirt ist; dieses letztere besteht aus allen Complexen, welche den gegebenen conjugirt sind. Z. B. ist einem linearen System von \(\infty^4\) Geradencomplexen ein System von \(\infty^4\) Ebenencomplexen conjugirt; auf diese Weise wird ein zu sich selbst duales Gebilde erzeugt, welches schon von Herrn Segre erforscht wurde (vgl. F. d. M. XX. 1888. 666, JFM 20.0666.01). Von den anderen linearen Systemen von \(\infty^5 ,\dots, \infty^8\) linearen Complexen können die Eigenschafen sehr leicht abgeleitet werden, wenn man das Dualitätsgesetz auf das schon Gesagte anwendet und den Begriff des Conjugirtseins benutzt. Was wir auseinandergesetzt haben, ist unserer Meinung nach hinreichend, um klar zu machen, dass die Liniengeometrie in \(R_4\) in vielen Punkten von der Liniengeometrie in \(R_3\) wesentlich verschieden ist. Wie der Verf. bemerkt, findet ein ähnlicher Unterschied zwischen der Liniengeometrie in \(R_n\) und in \(R_{n-1}\) für jeden Wert von \(n\) statt; derselbe kann leicht ermittelt werden durch Ueberlegungen und Rechnungen, welche denjenigen ähnlich sind, die Herr Castelnuovo in seiner wichtigen Arbeit angewandt hat.