Ueber das analytische Problem der Rotation eines starren Körpers im Raume von vier Dimensionen. (Q1531174)

Die Bewegung eines starren Körpers im Raume von \(n\) Dimensionen hängt für den Fall, dass keine Kräfte wirken, von dem Gleichungssyteme \[ (A_{\alpha }+A_{\beta })\,\frac {dp_{\alpha \beta }}{dt}=(A_{\alpha}- A_{\beta })\sum _{\gamma }p_{\alpha \gamma }p_{\beta \gamma }, \] \[ \frac {dx_{\alpha }}{dt}=\sum _{\beta }p_{\alpha \beta }x_{\beta }\quad (\alpha ,\beta ,\gamma =1,\dots,n), \] \[ p_{\alpha \beta }=-p_{\beta \alpha } \] ab; die \(A_{\alpha }\) bedeuten darin positive Constanten. Für \(n=4\) lässt sich dieses System mittels Quadraturen lösen. Setzt man \(A_{\alpha }^2= a_{\alpha },\) so findet man \[ \frac {1}{A_1+A_2}=ka_3a_4+l(a_3+a_4)+m,\;\dots , \] so dass \(k,l,m\) systemmetrische Functionen von \(A_1,\dots ,A_4\) werden. Durch die Substitution \[ kdt=du,\quad ldt=dv,\quad mdt=dw,\quad (A_{\alpha }+A_{\beta }) p_{\alpha \beta }=q_{\alpha \beta } \] gehen dann jene Differentialgleichungen in \[ (1)\quad dq_{12}=(a_1-a_2)(q_{13}q_{23}(a_4du+dv)+\cdots ),\;\cdots , \] \[ (2)\quad dx_1=q_{12}x_2(a_3a_4du+(a_3+a_4)dv+dw)+\;\cdots \] über; und hierin hat man ein System totaler Differrentialgleichungen, auch wenn \(u,v,w\) als unabhängige Veränderliche aufgefasst werden. Die sechs Gleichungen (1) nun enthalten nur \(u, v,\) und es lassen sich für sie vier Integrale angeben, die in die eine Formel \[ \begin{multlined} \left( \frac {q_{23}}{\sqrt{(a-a_2)(a-a_3)}}+ \frac {q_{14}}{\sqrt {(a-a_1)(a-a_4)}}\right) ^2+(\cdot )^2+ (\cdot )^2=\sum ^4_1{}_{\alpha }\;\frac {C_{\alpha }}{a-a_{\alpha }} \\ +\frac {2C_0}{\sqrt{(a-a_1)(a-a_2)(a-a_3)(a-a_4)}} \end{multlined} \] zusammenzufassen sind, die für ein willkürliches \(a\) gilt; \(C_0,\dots ,C_4\) sind dabei fünf Constanten, zwischen denen eine Beziehung besteht. Damit sind die Gleichungen (1) auf Quadraturen zurückführbar; betrachtet man hierauf in (2) zunächst \(w\) allein als Variable, so liegt ein System linearer Gleichungen mit constanten Coefficienten vor: \[ \frac {\partial x_1}{\partial w}=q_{12}x_2+q_{13}x_3+q_{14}x_4, \dots ; \] und nach Ansetzung des allgemeinen Integrals dieses Systems gehören zur vollständigen Bestimmung von \(x_1, \dots,x_4\) wieder nur Quadraturen. Der Weg, um die \(p_{\alpha \beta }\) und \(x_{\alpha }\) als Functionen von \(t\) darzustellen, ist durch eine Arbeit des Hrn. F. Kötter über die Bewegung einens Ellipsoids in einer Flüssigkeit klargelegt.