Die Clausius'schen Coordinaten. (Q1531226)

Ist \[ {\mathfrak P}(z,\zeta )=\frac {1}{n-2}\;\left( \sum _h(z_h-\zeta _h)^2\right) ^{-\frac 12(n-2)} \] \[ (h=1,2,\dots ,n) \] das Elementarpotential einer \(n\)-fachen Mannigfaltigkeit, ist ferner \[ (\text{B})\quad \text{Pot}_k=+\int {\mathfrak F} (z_1, z_2,\dots ,z_n) \frac {\partial {\mathfrak P}(z,\zeta )}{\partial \zeta _k}dv \] \[ (k=1,2,\dots ,n), \] wobei die Integration über das Gebiet \[ F_0(z_1, z_2,\dots,z_n)<0 \] auszudehnen ist, so lautet die Gleichung, welche der Poisson'schen Gleichung im dreidimensionalen Raume analog ist: \[ (\text{A})\quad \sum ^n_{k=1}\;\frac {\partial \text{Pot}_k}{\partial \zeta _k}=-\varpi{\mathfrak F} (\zeta_1,\zeta_2,\dots ,\zeta_n), \] und zwar ist \[ \varpi=\frac {2\pi^{\frac 12n}}{\varGamma (\frac 12n)} \] Der Ableitung der Gleichung (A) ist der vorliegende Aufsatz gewidmet, und dazu benutzt der Verfasser die sogenannten Clausius'schen Coordinaten \(t, z_1^\circ, z_2^\circ,\dots , z_n^\circ,\) die mit \(z_1, z_2,\dots ,z_n\) durch die Gleichungen zusammenhängen: \[ (\text{C})\quad z_k=z_k^\circ-t(z_k^\circ-\zeta_k). \] \(z_1^\circ, z_2^\circ,\dots ,z_n^\circ\) bilden dabei ein Wertsystem, das der Gleichung \(F_0 =0\) genügt, vertreten also nur die Stelle von \(n-1\) Variabeln. Transformirt man das Integral (B) auf neuen Variabeln und bildet dann die linke Seite von (A), so erhält man nach mehrfachen Reductionen eine Ausdruck, der sich von der rechten Seite von (A) dadurch unterscheidet, dass an Stelle von \(\varpi\) ein über das Gebiet \(F_0=0\) zu erstreckendes Integral steht. Um die Gleichung (A) selbst zu erhalten, ist noch zu zeigen, dass, wenn man das Gebiet \(F_0<0\) in zwei Teile zerlegt, deren einer den Punkt \(\zeta _1,\dots,\zeta _n\) enthält, der für den andern Teil gebildete Ausdruck \(\varSigma \frac {\partial Pot_k}{\partial \zeta _k}\) verschwindet, dass man daher das zuletzt erwähnte Integral nur über die Begrenzung des ersten Teiles zu erstrecken braucht. Wählt man dafür ein der Kugel analoges Gebilde, so ergiebt sich die Richtigkeit von (A). Die Gültigkeit dieser Gleichung setzt voraus, dass die Dichtigkeitsfunction \(\mathfrak F\) im Punkte \(\zeta _1,\dots ,\zeta _n\) nach den verschiedenen Richtungen hin stetig ist. Bemerkt werden mag, dass die hier benutzten Coordinaten Verallgemeinerungen der Variabeln sind, deren sich Clausius bei der Ableitung der Poisson'schen Gleichung bedient. Kronecker zieht die Clausius'sche Ableitung der Gauss'schen vor, da sie geringerer Voraussetzungen bezüglich der Dichtigkeit bedarf.