The potentials of ellipsoids of variable densities. (Q1531237)

Der Verfasser betrachtet zunächst das Potential einer unendlich dünnen ellipsoidischen Schale für Punkte des inneren hohlen Raumes unter der Annahme, dass die Dichtigkeit der Schale an der Stelle \(x, y, z\) (d. h. die über dem Flächenelement der Grenzfläche liegende Masse) = \(k p H_i(x, y, z)\) ist, wo \(p\) das vom Mittelpunkte auf die Tangentialebene des Punktes \(x, y, z\) gefällte Lot, \(H_i\) eine ganze homogene Function vom Grade \(i, k\) eine Constante bezeichnet. Führt man Polarcoordinaten ein, deren Anfangspunkt der Mittelpunkt der Schale ist, entwickelt die reciproke Entfernung eines Punktes der Masse von dem angezogenen Punkte in bekannter Weise wie bei einer Kugelschale, und benutzt bekannte Eigenschaften der Kugelfunctionen, so reducirt sich die Aufgabe, das Potential der Schale für innere Punkte zu finden, auf die Ermittelung einer endlichen Zahl von Doppelintegralen von der Form \[ \iint \frac {l^{2p}m^{2q}n^{2r}}{\left( \frac {l^2}{a^2}+\frac {m^2}{b^2}+ \frac {n^2}{c^2}\right) ^{k+1}}\;d\omega . \] Darin sind \(l, m, n\) die Richtungscosinus eines beliebigen vom Mittelpunkte ausgehenden Radius, \(d\omega \) ist das Flächenelement einer Kugel vom Radius \(1,\;a,\;b,\;c\) sind die Halbaxen der inneren Grenzfläche der Schale, \(p,\;q,\;r,\;k\) ganze Zahlen. Die Integration ist über die ganze Kugelfläche zu erstrecken. Die benutzte Entwickelung setzt zunächst voraus, dass der angezogene Punkt dem Mittelpunkte näher liegt, als der Endpunkt der kleinsten Axe. Das unter dieser Voraussetzung gewonnene Resultat aber gilt ohne weiteres für alle inneren Punkte. Das obige Doppelintegral nun lässt sich durch eine bekannte, von Jacobi herrührende Transformation und durch Differentiiren nach einem Parameter aus dem bekannten Integral \[ \iint \frac {d\omega }{ \frac {l^2}{a^2}+\frac {m^2}{b^2}+ \frac {n^2}{c^2}}=2\pi abc\int _0^{\infty} \frac {d\psi }{\root\of {(a^2+\psi)(b^2+\psi)(c^2+\psi)}} \] ableiten. Durch diese Methode gelingt es dem Verfasser, in einfachen Fällen das Potential der unendlich dünnen ellipsoidischen Schale durch ein einfaches Integrall auszudrücken. Es sind dies die (zum Teil schon bekannten) Fälle \[ H=x,\quad H=x^2,\quad H=yx,\quad H=x^3,\quad H=x^2y,\quad H=xyz, \] \[ H=x^4,\quad H=x^3y,\quad H=x^2yz,\quad H=x^2y^2. \] Für diese Fälle ergiebt sich zugleich das Potential der Schale in Bezug auf einen äusseren Punkt durch das Ivory'sche Verfahren. Letzteres Potential unterscheidet sich von dem für innere Punkte ebenso, wie sich beim Potential homogener Ellipsoide das Resultat für einen äusseren von dem für einen inneren Punkt unterscheidet. Für den Fall \(H=\left( \frac xa \right) ^n\) führt obige Methode der directen Berechnung nicht mehr zum Ziele. Wenigstens gelingt es dem Verf. hier nur, das Resultat, dessen Form er aus dem Resultat der einfacheren Fälle erraten hat, mittels der Dirichlet'schen charakteristischen Bedingungen zu verificiren. Auch für den noch allgemeineren Fall \[ H=f\left( \frac xa,\;\frac yb,\;\frac zc\right) \] wird das Resultat nicht abgeleitet, sondern nur verificirt. Dies Resultat lautet: das Potential der unendlich dünnen Schale, deren Dichtigkeit \(p\;.\;f\left( \frac xa,\;\frac yb,\;\frac zc\right) \) ist, in Bezug auf einen inneren Punkt ist: \[ V_i=2\pi abc\int _0^{\infty }\left[1+\frac {\psi P}{2^2}\;\delta + \frac {\psi ^2P^2}{2^2.4^2}\;\delta ^2+\cdots \right] \times f\left( \frac {ax}{a^2+\psi}\,,\;\frac {by}{b^2+\psi}\,,\;\frac {cz}{c^2+\psi}\right) \frac {d\psi }{\sqrt R}\,; \] für den äusseren Punkt tritt an die Stelle der unteren Grenze 0 der Parameter \(\varepsilon\) des durch den angezogenen Punkt gelegten confocalen Ellipsoids. Die in der vorstehenden Formel vorkommenden Buchstaben haben Bedeutung: \[ \begin{aligned} & P=1-\frac {x^2}{a^2+\psi}-\frac {y^2}{b^2+\psi}-\frac {z^2}{c^2+\psi},\\ & R=(a^2+\psi)(b^2+\psi)(c^2+\psi),\end{aligned} \] und \(\delta \) ist eine symbolische Bezeichnung für die Operation: \[ \delta . \varphi = \frac {a^2+\psi }{a^2}\;\frac {\partial ^2\varphi}{\partial x^2}+ \frac {b^2+\psi }{b^2}\;\frac {\partial ^2\varphi}{\partial y^2}+ \frac {c^2+\psi }{c^2}\;\frac {\partial ^2\varphi}{\partial z^2}\,. \] Für das Potential eines vollen Ellipsoids, dessen Dichtigkeit \[ \varrho = \frac {\lambda}{\pi abc}\left(1-\frac {x^2}{a^2} -\frac {y^2}{b^2} - \frac {z^2}{c^2}\right)^{\lambda -1} \;f\left( \frac xa\,,\;\frac yb\,,\;\frac zc\right) \] ist \((\lambda >0),\) findet der Verfasser unter Benutzung derselben Bezeichnung \[ V_i=\int _0^{\infty }P^\lambda\left[1+\frac {\psi P}{2^2.1.(1+\lambda)}\;\delta +\frac {\psi ^2P^2}{2^4.1.2.(1+\lambda)(2+\lambda)}\;\delta^2+\cdots \right] \times f\left( \frac {ax}{a^2+\psi}\,,\;\frac {by}{b^2+\psi}\,,\;\frac {cz}{c^2+\psi},\right)\frac {d\psi }{\sqrt R}; \] ein Resultat, das ebenfalls verificirt wird. Dasselbe wird auf mehrere specielle Fälle angewandt, und dann daraus durch den bekannten Grenzübergang das Potential einer elliptischen Scheibe mit der Dichtigkeit \[ \sigma =\frac {\lambda}{\pi ab}\;\frac {\varGamma (\lambda ) \varGamma (\frac 12)}{\varGamma (\lambda +\frac 12)} \left( 1-\frac {x^2}{a^2}-\frac {y^2}{b^2}\right) ^{\lambda -\frac 12} f\left( \frac xa,\;\frac yb\right) \] abgeleitet. Der Ausdruck für dasselbe unterscheidet sich von dem letzten Ausdruck für \(V_0\) nur dadurch, dass in \(P\) und \(R\) \(c=0\) zu setzen ist, dass ferner \(z\) in \(f\) nicht vorkommt, dass endlich in der Operation \(\delta\) das letzte Glied fortfällt. Durch nochmaligen Grenzübergang ergiebt sich endlich das Potential einer begrenzten geraden Linie bei einer gewissen nicht homogenen Massenverteilung.