Sulla deformazione di un corpo elastico isotropo indefinito limitato da un piano indefinito, per specieli condizioni ai limiti. (Q1531272)

Der Verfasser geht aus von der Integralformel für die kubische Condensation \[ \begin{aligned} -4\pi \varrho \Omega^{2}\theta & = \varrho \int_{S} \left(X\;\frac{\partial \frac{1}{R}}{\partial x} + Y\;\frac{\partial \frac{1}{R}}{\partial y} + Z\;\frac{\partial \frac{1}{R}}{\partial z} \right) dS\\ & +\int_{s} \left(L\;\frac{\partial \frac{1}{R}}{\partial x} + M\;\frac{\partial \frac{1}{R}}{\partial y}+ N\;\frac{\partial \frac{1}{R}}{\partial z} \right) ds\\ & \qquad +2\varrho \omega^{2} \int_{s} \left( u_{s}\;\frac{\partial^{2}\frac{1}{R}}{\partial x \partial z} + v_{s}\;\frac{\partial^{2}\frac{1}{R}}{\partial y \partial z} + w_{s}\;\frac{\partial^{2}\frac{1}{R}}{\partial z^{2}} \right) ds.\end{aligned} \] Sind nun \(\xi ,\eta ,\zeta\) die Verrückungen, welche durch ein Kraftsystem \(X' = 0, \;Y' = 0, \;Z' = 0, \;L',M',N'\) hervorgerufen werden, so ist nach Betti's Reciprocitätstheorem \[ \int (X\xi + Y\eta + Z\zeta)dS + \int_{s} (L\xi + M\eta + N\zeta )ds - \int (L'u_{s} + M'v_{s} + N'w_{s})ds = 0 \] und folglich \[ \begin{multlined} -4\pi\varrho \Omega^{2}\theta = \varrho \int_{S} \left\{ X \left(\xi +\frac{\partial \frac{1}{R}}{\partial x} \right) + Y\left(\eta + \frac{\partial \frac{1}{R}}{\partial y} \right)\right.\\ \left.+Z\left(\zeta +\frac{\partial \frac{1}{R}}{\partial z} \right) \right\} dS + \int_{s} \left\{ L\left( \xi +\frac{\partial \frac{1}{R}}{\partial x}\right) + M\left(\eta + \frac{\partial \frac{1}{R}}{\partial y}\right)\right.\\ \left.+N\left(\zeta+\frac{\partial \frac{1}{R}}{\partial z}\right)\right\} ds+2\varrho \omega^{2}\int_{s} \left\{u_{s} \left(\frac{\partial^{2}\frac{1}{R}}{\partial x \partial z} - \frac{L'}{2\varrho \omega^{2}}\right)\right.\\ \left.+v_{s}\left(\frac{\partial^{2}\frac{1}{R}}{\partial y \partial z} - \frac{M'}{2\varrho \omega^{2}}\right) + w_{s}\left(\frac{\partial^{2} \frac{1}{R}}{\partial z^{2}} - \frac{N'}{2\varrho \omega^{2}}\right) \right\} ds. \end{multlined} \] Werden nun \(\xi ,\eta,\)... so bestimmt, dass für begrenzende Ebene \[ \xi = -\frac{\partial \frac{1}{R}}{\partial x}, \quad \eta = - \frac{\partial \frac{1}{R}}{\partial y}, \quad \frac{\partial^{2}\frac{1}{R}}{\partial z^{2}} - \frac{N'}{2q\omega^{2}} = 0 \] ist, so fallen \(L,M, w_{s}\) aus der Formel heraus, und man erhält die kubische Dilatation für den Fall, dass an der Grenze die Normalkraft \(N\) und die in der Ebene liegenden Componenten der Verrückung bekannt sind, vorausgesetzt dass \(\xi ,\eta ,\zeta ,L',M'\) gefunden sind. Ist aber \(\theta\) bekannt, so kann man auch die Componenten \(u,v,w\) leicht finden (cf. F. d. M. XXI. 1889. 1023, JFM 21.1023.03).