Applications of thermodynamics to actions which take place between electrical currents and magnets. (Q1531458)

Der Verf. beabsichtig in dieser Arbeit, die Formeln für die elektromagnetischen Erscheinungen, ohne Verwertung der Experimente von Ampère, Biot und Savart, aus den ``Gesetzen der Thermodynamik und den Hypothesen, welche zur Definition der elektrischen Ströme und der Magnete dienen'', herzuleiten. Im Cap. I, \S\ 1 wird für das thermoelektrische Potential (F) eines Systems nicht elektrisirter Magnete der Ausdruck \[ F = E(U - TS) + Y + \iiint f(M)dxdydz \] hergeleitet, wo \(E\) das mechanische Wärmeäquivalent ist, \(U\) die innere Energie des Systems unter Voraussetzung, dass alle Körper aufhören, magnetisch zu sein, ohne sonst verändert zu werden, \(S\) die Entropie des Systems unter derselben Bedingung, \(T\) die absolute Temperatur (dieselbe im ganzen Systeme), \(Y\) das Potential der mechanischen Wirkungen zwischen den Magneten, \(M\) die Intensität der magnetischen Polarität in einem beliebigen Punkte, \(f(M)\) eine unbestimmte Function von \(M\), welche ausserdem von der physikalischen und chemischen Beschaffenheit des Systems abhängt. Bei der Deduction wird, ausser der Existenz des Potentials der mechanischen Einwirkungen, der vom Verf. an anderer Stelle bewiesene Satz benutzt, dass das innere thermodynamische Potential eines Systems vom Potentiale der mechanischen Kräfte um einen Term verschieden ist, welcher bei blossen Versetzungen des Systems unverändert bleibt. Im \S 2 wird gezeigt, dass bei elektrisirten Magneten im Ausdrucke für \(F\) die Terme \[ W + \varSigma \varTheta q + \varSigma M q G (M) \] hinzukommen, wo \(W\) das elektrostatische Potential ist, \(q\) die elektrische Ladung in einem beliebigen Punkte, \(\Theta\) eine des Leiters in demselben Punkte abhängt, \(G(M)\) eine unbestimmte Function von \(M\) und von der Natur des Systems. -- Es wird hierbei angenommen, dass das Potential der mechanischen Einwirkungen \(W+Y\) ist. Im Cap. II wird bewiesen, dass für einen geschlossenen Raum, in welchem längs einer geschlossenen Linie \(L\) ein unendlich dünner Kanal gegraben ist, die Gleichung \[ Xdx + Ydy + Zdz = dU + dl\cdot\frac{H}{4\pi}\int \Delta dL \] besteht, wo \(X, Y, Z\) Functionen von \(x, y, z\) sind, welche im fraglichen Raume continuirlich sind und den Gleichungen \[ \frac{\partial Y}{\partial z} - \frac{\partial Z}{\partial y} = \frac{\partial Z}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial z} = \frac{\partial X}{\partial y} - \frac{\partial Y}{\partial x} = 0 \] genügen, \(dl\) das Bogenelement einer beliebigen Curve bedeutet, \(dx, dy, dz\) die \(x\)-, \(y\)-, \(z\)-Componenten desselben sind, \(U\) eine Function von \(x, y, z\) ist, welche, mit möglicher Ausnahme für die Linie \(L\), überall eindeutig und continuirlich ist, \(H\) eine gewisse Constante, \[ \Delta = \frac{1}{r^{2}}\begin{vmatrix} \frac{\xi - x}{r}, & \frac{\eta -y}{r}\,, & \frac{\zeta - z}{r}\\ \frac{dx}{dl}\,, & \frac{dy}{dl}\,, & \frac{dz}{dl}\\ \frac{d\xi}{dL}\,, & \frac{d\eta}{dL}' & \frac{d\zeta}{dL}\end{vmatrix} \,, \] \((\xi, \eta, \zeta)\) ein beliebiger Punkt auf \(L\). Cap. III bringt die Herleitung des thermodynamischen Potentials eines Systems von Magneten und von geschlossenen, gleichförmigen Strömen. Die Ströme werden vorläufig als linear betrachtet. Es wird angenommen, dass der oben hergeleitete Ausdruck um einen Term \(\Lambda\) zu vermehren ist, von welchem gezeigt wird, dass auf ihn nur folgende Umstände Einfluss haben: 1) Lage, Form und Grösse der Leiterelemente, durch welche Ströme gehen; 2) die Stromintensität \(J\) und ihre Derivirten \(\frac{dJ}{ds}, \frac{d^{2}J}{ds^{2}}\) etc.; 3) Lage, Form und Grösse der magnetischen Elemente; 4) die Grösse der magnetischen Polarisation in jedem Punkte und die Derivirten derselben nach \(x, y, z.\) Man setzt \[ \varLambda = \varPi + \varOmega, \] wo \[ \varPi = \varSigma\varPsi(ds, ds'), \quad \varOmega = \varSigma \varXi (ds, dv). \] Hierin bedeuten \(ds, ds'\) Stromelente, \(dv\) ein magnetisches Element; \(\varXi\) ist eine Function von \(J\), \(\frac{dJ}{ds}\), \(\frac{d^{2}J}{ds^{2}}\) etc., \(J'\), \(\frac{dJ'}{ds'}\) etc. und von den Parametern, welche Form, Grösse und gegenseitige Lage von \(ds\), \(ds'\) bestimmen, \(\varXi\) ist eine Function von \[ J,\;\frac{dJ}{ds},\dots,\quad M,\;\frac{\partial M}{\partial x}\,, \quad \frac{\partial M}{\partial x}\,, \quad \frac{\partial M}{\partial y}\,, \quad \frac{\partial M}{\partial z}\,, \quad \frac{\partial^{2}M}{\partial z^{2}}\quad \text{etc.} \] und von Parametern, welche Form, Grösse und gegenseitige Lage von \(ds\), \(ds'\) und die Lage von \(ds\) zur Richtung der magnetischen Polarisation in \(dv\) bestimmen. \(\varPi\) wird dann die Function, für welche der Verf. in einer früheren Abhandlung ``Sur les actons qui s'exercent entre les courants électriques'' (Acta Soc. Fenn. XVI. 1888) den Ausdruck \[ \varPsi (ds, ds') = - A\;\frac{dsds'}{r}\left[\frac{1 - \lambda}{2}\;\cos(ds, ds')+\frac{1 + \lambda}{2}\;\cos (r,ds)\cos (r,ds')\right] \] hergeleitet hat; \(r\) bedeutet hier die Länge der von \(ds\) nach \(ds'\) gezogenen Geraden, \(\lambda\) ist die Helmholtz'sche Constante. \(A\) eine Constante, welche von der für die Stromstärke angewandten Einheit abhängt. \(\varXi\) wird von der Form: \[ \varXi (ds, ds') = \xi dvJds, \] wo \(\xi\) von folgenden Grössen abhängt: der magnetischen Intensität \(M\) in einem Punkte des Elementes \(dv\), der Entfernung \(\varrho\) zwischen \(ds\) und \(dv\), dem Winkel \(\vartheta\) zwischen \(ds\) und \(\varrho\), dem Winkel \(\vartheta '\) zwischen \(\varrho\) und der Richtung der magnetischen Axe \(l\) des Elementes \(dv\), endlich dem Winkel zwischen \(l\) und \(ds\). Zufolge der Annahme, dass die Einwirkung eines Magneten auf ein Stromelelement durch die Wirkungen zweier magnetischen Pole ersetzt werden könne, ergiebt sich \(\xi = \zeta M\), wo \[ \zeta = \frac{H\Delta}{4\pi} + \frac{\partial^{2}F(\varrho)}{\partial s\partial l}, \] \(F\) eine eindeutige Function. Für geschlossene Ströme reducirt sich \(\zeta\) auf \(\frac{H\Delta}{4\pi}\,.\) Im Cap. IV wird gezeigt, wie die Erfahrung zur Annahme \(H = A\) führt. Zwei geschlossene Ströme wirken nämlich auf einen Magneten, wie zwei magnetische Doppellager von gewisser Beschaffenheit, und man nimmt an, dass die Ströme auch auf einander dieselbe Wirkung haben, welche die Doppellager haben würden. Cap. V behandelt die Wirkungen zwischen Magneten und beliebigen (nicht gleichförmigen) linearen Strömen. Statt jedes magnetischen Elementes wird derjenige geschlossene Strom \((J)\) eingeführt, welcher hinsichtlich der Wirkung auf einen Magneten mit dem Elemente äquivalent ist, und es wird angenommen, dass das elektromagnetische Potential des Elementes und eines beliebigen Stromes dem elektrodynamischen Potentiale für \(J\) und denselben beliebigen Strom gleich ist. Hieraus ergeben sich für \(\varOmega\) folgende drei äquivalente Ausdrücke: \[ \begin{aligned} & \varOmega = - H\varSigma Mdv\int \frac{J'ds'}{\varrho^{2}}\;\sin(\varrho,dl)\sin(ds',dl)\sin(D',D),\\ & \varOmega = -H\varSigma Mdv\int \frac{J'ds'}{\varrho^{2}}\;\sin(\varrho, dl)\sin(\varrho, ds')\sin\varepsilon,\\ & \varOmega = H\varSigma Mdv\int J'\Delta ds'.\end{aligned} \] Hierin ist \(ds'\) ein Element des gegebenen Stromes, \(J'\) die Stromstärke in diesem Elemente, \(\varrho\) die Entfernung zwischen \(dv\) und \(ds'\), \(dl\) die Richtung der magnetischen Axe in \(dv\), \(D'\) die Richtung der Projection von \(ds'\) auf die Ebene des Stromes \(J\), \(D\) die Richtung der Projection von \(\varrho\) auf dieselbe Ebene, \(\varepsilon\) der Winkel zwischen der Halbebene \((\varrho, ds')\) und der Halbebene \((\varrho, dl)\). Diese drei Ausdrücke für \(\varOmega\) geben bei gleichförmigen Strömen den gewöhnlichen, von der Erfahrung bestätigten Ausdruck für das Potential eines Magneten und eines elektrischen Stromes. Daraus ergiebt sich, dass ein magnetisches Element auf ein Stromelement mit einer Kraft wirkt, deren \(x\)-Componente \[ HM\,dv\,J\,ds\;\frac{d}{dl}\left[\frac{y' - y}{r^{3}}\;\frac{dz'}{ds} - \frac{z' - z}{r^{3}}\;\frac{dy'}{ds}\right] + HM\,dv\;\frac{dJ}{ds}\left[\frac{z' - z}{r^{3}}\;\frac{dy}{dl} - \frac{y' - y}{r^{3}}\;\frac{dz}{dl}\right] \] ist, wo \(x, y, z\) zu \(dv\) und \(x', y', z'\) zu \(ds\) gehören. Die Wirkung eines Stromes auf ein magnetisches Element reducirt sich auf eine Kraft und ein Kräftepaar, deren \(x\)-Componenten sind: \[ \begin{multlined} -HM\,dv \int Jds \left\{ \left[ \frac{1}{r^{5}} - \frac{3(x -x')^{2}}{r^{5}}\right] \left( \frac{dy}{dl}\;\frac{dz'}{ds} - \frac{dz}{dl}\;\frac{dy'}{ds} \right) -\frac{3(y-y')(x-x')}{r^{5}}\;\left( \frac{dz}{dl}\;\frac{dx'}{ds} - \frac{dx}{dl}\;\frac{dz'}{ds} \right)\right. \\ \left.- \frac{3(z-z')(x-x')}{r^{5}} \left( \frac{dx}{dl} \;\frac{dy'}{ds} - \frac{dy}{dl}\;\frac{dx'}{ds} \right) \right\}, \end{multlined} \] resp. \[ -HM\,dv \int J\,ds \left\{ \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial x} \left( \frac{dy}{dl}\;\frac{dy'}{ds} + \frac{dz}{dl}\;\frac{dz'}{ds} \right) - \frac{\partial \frac{1}{r}}{dy}\;\frac{dy}{dl}\;\frac{dx'}{ds} - \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial z}\;\frac{dz}{dl}\;\frac{dx'}{ds} \right\}. \] Das Eigentümliche in dieser neuen Theorie ist die Einführung der Kraftcomponente, welche \(\frac{dJ}{ds}\) enthält. Im Cap. VI wird gezeigt, wie die Formeln sich gestalten, wenn man mit Magneten und elektrischen Strömen von in jeder Richtung endlichen Dimensionen zu thun hat. In einer Note wird die Rotation eines Magneten unter Einwirkung von einem Strome besprochen. Nach Sir William Thomson ist diese Erscheinung dadurch zu erklären, dass das Potential des Stromes auf einen Magnetpol eine unendlich vieldeutige Function ist, und dass während der Bewegung nicht beide Pole durch die vom Strome eingeschlossene Fläche passiren. Der Verf. sucht dagegen die Erklärung in der Einwirkung des Stromes und des Magneten auf einen beweglichen Teil der Stromleitung.