Sulla teoria degli irrazionali algebrici. (Q1531652)

Die in einer früheren Arbeit (Sulla teoria delle funzioni algebriche di più variabili, Napoli Rend. (2) IV. 297-303; F. d. M. XXII. 1890. 392, JFM 22.0392.01) für algebraische Functionen bewiesenen Sätze werden hier auf irrationale, von einem gegebenen Rationalitätsbereich algebraisch abhängige Zahlen ausgedehnt. Es sei \(C\) irgend ein Rationalitätsbereich, und es bedeuten \(x_1,\dots,x_n\) die Wurzeln einer Gleichung, deren Coefficienten \(p_1,\dots,p_n\) dem Bereiche \(C\) angehören. Bezeichnen wir als ``irrationale Grössen von der \(\lambda^{\mathrm ten}\) Ordnung in Bezug auf einen Bereich \(K\)'' die Wurzeln einer im Bereiche \(K\) irreductibeln Gleichung von der \(\lambda^{\mathrm ten}\) Ordnung, deren Coefficienten diesem Bereiche angehören, dann gelten die folgenden Sätze: Gehört \(A\) dem Rationalitätsbereiche \((C,x_1,\dots,x_n)\) an, und ist \(\alpha\) eine in Bezug auf diesen Bereich irrationale algebraische Grösse, so gehört \(A\) dem Rationalitätsbereiche \((C,\alpha,p_1,\dots,p_n)\) dann und nur dann an, wenn jede Vertauschung zwischen den \(x_i\), welche \(\alpha\) (d. i. die Coefficienten der die Grösse \(\alpha\) definirenden Gleichung) unverändert lässt, die Zahl \(A\) (als Function der \(x_i\) betrachtet) ebenfalls unverändert lässt. Sind \(\alpha, \beta\) irrationale algebraische Grössen in Bezug auf den Bereich \((C,x_1,\dots,x_n)\), die letzte von der \(\lambda^{\mathrm ten}\) Ordnung, und lässt \(\beta\) jede Vertauschung zwischen den \(x_i\) zu, für welche \(\alpha\) unverändert bleibt, so ist \(\beta\) eine irrationale algebraische Grösse in Bezug auf den Bereich \((C, \alpha, p_1, \dots, p_n)\), und ihre Ordnung übertrifft nicht \(\lambda\).