Notiz, betreffend die Berechnung der Wurzeln numerischer Gleichungen. (Q1531672)

\(a\) sei ein Näherungswert einer Wurzel der algebraischen Gleichung \(f(x)=0\). Kürzt man die Entwickelung von \(f(x)\) nach Potenzen von \((x-a)\) in der folgenden Weise ab: \[ f(x)=f(a)+ \frac{(x-a). f'(a)}{1-(x-a) \cdot \frac{f''(a)}{2.f'(a)}}, \] so findet man für die gesuchte Wurzel \(x\) eine weitere Annäherung durch die Gleichung \[ x=a-\frac{1}{\frac{f'(a)}{f(a)} - \frac{\frac 12 f''(a)}{f'(a)} }, \] welche in vielen Fällen weit genauer ist als die nach der gewöhnlichen Newton'schen Methode berechnete.