Ueber den Casus irreducibilis bei der Gleichung dritten Grades. (Q1531679)

Der Aufsatz giebt einen strengen Beweis dafür, dass keine kubische Gleichung, welche in einem reellen Rationalitätsbereiche irreductibel ist und eine positive Discriminante besitzt, durch einen irgendwie aus Wurzelzeichen combinirten, ohne Hülfe imaginärer Grössen zu berechnenden Ausdruck befriedigt werden kann. Die gegenteilige Annahme führt nämlich zu dem Schlusse, dass eine in einem reellen Rationalitätsbereiche irreductible Gleichung dritten Grades, bei welcher jede Wurzel reell und in jeder andern rational ist, reductibel würde bei der Adjunction eines reellen Radicals mit Primzahlexponenten aus einer Grösse des Rationalitätsbereiches. Die Unmöglichkeit des letzteren ergiebt sich dann aus dem folgenden allgemeineren Satze: ``Eine in einem reellen Rationalitätsbereiche irreductible Gleichung \(n^{\mathrm ten}\) Grades mit einer reellen Wurzel und von der Eigenschaft, dass jede ihrer Wurzeln in jeder anderen rational ist, kann nicht durch die Adjunction eines reellen Radicals mit Primzahlexponenten reductibel werden, es sei denn der Exponent gleich 2, in welchem Falle auch \(n\) durch 2 teilbar sein müsste.'' Die Anwendung der Galois'schen Theorie führt den Verf. noch zu einer Verallgemeinerung des für kubische Gleichungen geltenden Satzes, nämlich zu folgendem Theorem: ``Unter den in einem reellen Rationalitätsbereiche irreductiblen Gleichungen mit lauter reellen Wurzeln sind die durch Quadratwurzeln auflösbaren die einzigen, bei denen eine Wurzel durch reelle Radicale dargestellt werden kann.''