On arithmetical series. I, II (Q1531812)

Der erste Teil dieser Abhandlung bezieht sich auf die Primzahlen (oder nach des Verfassers Ausdruck ``latente'' Primzahlen), die als Factoren in den Gliedern gegebener aritmethischer Reihen enthalten sind. Die beiden Hauptsätze lauten: 1) Ist \(m>n-1\), so enthält das Product \((m+1)(m+2)\dots(m+n)\) eine Primzahl, die nicht in \(1.2.3\dots n\) enthalten ist. 2) Ist \(m\) prim zu \(i\) und \(>n\), so muss das Product \((m+i)(m+2i)\dots(m+ni)\) eine oder mehrere Primzahlen grösser als \(n\) enthalten, falls \[ (m+i)(m+2i)(m+3i)\dots(m+(n-\nu_1)i) > 1.2.3\dots n, \] worin \(\nu_1\) die Anzahl der unterhalb \(n\) gelegenen, nicht in \(i\) enthaltenen Primzahlen bezeichnet. In dem zweiten Teile betrachtet der Verfasser die asymptotischen Grenzen für die Anzahl von Primzahlen gewisser irreduciblen linearen Formen \(mz+r\), die zwischen einer Zahl \(x\) und einem gegebenen gebrochenen Vielfachen \(kx\) von ihr liegen. Die Forschungsmethode ist derartig, dass die bestimmten asymptotischen Grenzen von dem Wert von \(r\) unberührt bleiben und für alle Werte von \(m\), welche denselben Totienten haben, die nämlichen sind. Dieser Teil ist gewissermassen als ein Supplement zu der berühmten Arbeit Tschebyscheff's von 1850 in den Petersburger Denkschriften von 1854 zu betrachten. Beide Untersuchungen des Verfassers stützen sich in gleicher Weise auf gewisse elementare Sätze über ``Index-Summen'' (bezüglich irgendeiner gegebenen Primzahl) arithmetischer Reihen.