On a Diophantine analysis of the second degree (Q1531841)

Eine ``Fundamentallösung'' der Gleichung \[ (1) \qquad x^2-Dy^2=N \] oder: \[ (2) \qquad x^2-Dy^2=-N \] ist eine Lösung (\(x_0,y_0\)), bei welcher \(y_0<\beta \sqrt N\) bezw. \(y_0 \overset {=} < \sqrt {\frac {N(\alpha+1)} {2D}}\) ist, wo (\(\alpha,\beta\)) eine Lösung der Pell'schen Gleichung \(x^2-Dy^2=1\) bezeichnet. Alle Lösungen (\(X,Y\)) oder (\(\overline X, \overline Y\)) der Gleichungen (1) oder (2) ergeben sich aus den Fundamentallösungen (\(x_0,y_0\)) bezw. (\(\overline {x_0}, \overline {y_0}\)) derselben Gleichung vermittelst der Identitäten: \[ \begin{aligned} & X+Y \sqrt D = (x_0+y_0 \sqrt D) (\alpha+\beta \sqrt D)^m \qquad (m=0,1,2,\dots),\\ & \overline X + \overline Y \sqrt D = (\overline {x}_0 + \overline {y}_0 \sqrt D) (\alpha+\beta \sqrt D)^m \qquad (m=0,1,2,\dots),\\ & \overline X + \overline Y \sqrt D = (- \overline x_0 + \overline y_0 \sqrt D) (\alpha+\beta \sqrt D)^m \qquad (m=1,2,\dots).\end{aligned} \] Der Verfasser giebt ferner eine elementare Auflösungsmethode für die Pell'sche Gleichung an und beweist den folgenden, von Hrn. Tschebyscheff (Sur les formes quadratiques, Journ. de math. pures et appliquées, 1851) aufgestellten Satz: Ist (\(\alpha,\beta\)) die kleinste Lösung der Pell'schen Gleichung, (\(\xi,\eta\)) die kleinste Lösung der Gleichung (1) oder (2), so ist \(\xi \overset {=} < \sqrt {\frac 1 2 N (a \pm 1)}.\)