On the approximation of irrational numbers by rational numbers (Q1531886)

Diese Note giebt zu der bisherigen Theorie der Annäherung einer beliebigen Irrationalzahl \(\alpha\) mittels einer unbegrenzten Reihe von rationalen Brüchen \(\frac {x_1} {y_1}, \frac {x_2} {y_2}, \frac {x_3} {y_3}, \dots\) eine wesentliche Ergänzung, indem sie zeigt, dass die Wahl dieser rationalen Brüche stets so getroffen werden kann, dass für alle \(n\) der absolute Wert \[ \left| \alpha-\frac {x_n} {y_n} \right| < \frac 1 {\sqrt 5 y_n^2} \] ausfällt. Zum Beweise wird \(\alpha\) in einen gewöhnlichen Kettenbruch entwickelt; es sei etwa, indem \(\mu_n\) die grösste in \(\alpha_{n-1}\) enthaltene ganze Zahl bezeichnet: \[ \alpha=\mu_1+\frac 1 {\alpha_1}, \quad \alpha_1=\mu_2+\frac 1 {\alpha_2}, \quad \dots, \quad \alpha_{n-1}=\mu_n+\frac 1 {\alpha_n}, \quad \dots. \] Ist \(\frac {p_n} {q_n} = (\mu_1, \mu_2, \dots, \mu_n)\) der \(n^{\text{te}}\) Näherungsbruch, so wird bekanntlich \[ \alpha-\frac {p_n} {q_n} = \frac {\pm 1} {r_n q_n^2}, \] wo \[ r_n=\alpha_n+\frac {q_{n-1}} {q_n} = (\mu_{n+1}, \mu_{n+2}, \dots) + (0, \mu_n, \mu_{n-1}, \dots, \mu_2) \] gesetzt ist. Es kommt nun darauf an, zu zeigen, dass für unendlich viele \(n\) die Ungleichung \(r_n>\sqrt 5\) stattfindet. Hierzu sind 3 Fälle zu unterscheiden, je nachdem unter den Zahlen \(\mu_2, \mu_3, \mu_4, \dots\) unendlich viele vorkommen, welche grösser als 2 sind, oder in jener Reihe von einer gewissen Stelle ab nur noch die Zahlen 1 und 2 auftreten, oder endlich nur noch die Zahl 1 vorkommt. Im ersten und dritten Falle liegt die anzuwendende Schlussweise auf der Hand; im zweiten Falle ersetze man den \(r_n\) darstellenden unendlichen Kettenbruch durch einen anderen, in welchem die Teilnenner ungerader Ordnung gleich 2, die Teilnenner gerader Ordnung gleich 1 sind, und beachte, dass der Wert dieses letzten Kettenbruches kleiner ist als der des ursprünglichen. Auch zeigt der Verfasser, dass in dem Ausspruch seines Satzes \(\sqrt 5\) nicht durch eine grössere Zahl ersetzt werden kann. Den Schluss bilden Bemerkungen darüber, in wie weit eine solche Ersetzung dennoch möglich ist, sobald man aus dem Systeme der darzustellenden irrationalen Zahlen \(\alpha\) gewisse Klassen ausschliesst.