A remark on an expansion of numbers which has some similarities with continued fractions (Q1531894)

Man setze der Reihe nach \[ \begin{aligned} & x=a_1+\frac 1 {x_0}, \quad \text{wo} \quad a_1<x<a_1+1,\\ & \frac 1 {x_0} = \frac 1 {u_0} - \frac 1 {x_1}, \quad \text{wo} \quad u_0<x_0<u_0+1,\\ & \frac 1 {x_1} = \frac 1 {u_1} - \frac 1 {x_2}, \quad \text{wo} \quad u_1<x_1<u_1+1,\end{aligned} \] u.s.f., so bekommt man eine bei rationalem \(x\) endliche, sonst unendliche Reihe \[ x=a_1+\frac 1 {u_0} - \frac 1 {u_1} + \frac 1 {u_2} - \cdots \] mit der charakteristischen Bedingung \[ \frac 1 {u_n(u_n+1)} > \frac 1 {u_{n+1}} - \frac 1 {u_{n+2}} + \cdots. \] Man bekommt eine ähnliche Reihe mit lauter positiven Gliedern, wenn man statt \(\frac 1 u\) jedesmal \(\frac 1 {u+1}\) setzt.