On the probability that, at arbitrary partitioning of a straight line, the segments will be between the given boundaries. (Q1531909)

Die Aufgabe lautet: die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass bei willkürlicher Teilung einer gegebenen Geraden die erhaltenen Stücke zwischen gegebenen Grenzen liegen. Einfachere Lösung der Aufgabe als die von Hrn. Jordan (S. M. F. Bull. I 1872-73) und von Hrn. Laquière (ebenda VIII, F. d. M. XII. 1880. 171, JFM 12.0171.01) mitgeteilte. Zugleich Lösung mehrerer ähnlichen Aufgaben. Wenn die Gerade in \(m\) beliebige Segmente geteilt wird, so werden dieselben nach ihrer Grösse in einige Gruppen vereinigt, deren gegebene Grenzen einander ausschliesen. Mit Hülfe eines allgemeinen Prinzips wird eine Formel aufgestellt, welche es ermöglicht, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass von \(m\) Segmenten eine Anzahl \(p_1\), deren Anordnung in der Gesamtreihe zuvor festgestellt ist, zur ersten oben erwähnten Gruppe gehört, in gleicher Weise eine Anzahl \(p_2\) zur zweiten u. s. w., während von den \(m - (p_1 + p_2 + \cdots)\) übrigen Segmenten unbestimmt gelassen wird, welcher Gruppe dieselben, einzeln genommen, angehören. Es fällt schwer, diese formelreiche Abhandlung im Auszug weiter mitzuteilen. Als besondere Anwendungen werden die Fälle erörtert, bei denen 1. von den \(m\) Stücken \(p\) zuvor gewählte kleiner als eine Grösse \(a\) und \(r\) ebenso zuvor gewählte grösser als \(a\) sein müssen, während die übrigen \(m- p- r\) Stücke beliebige Grössen haben können; 2. \(p\) zuvor gewählte ausserhalb der Grenzen \(a\) und \(b\), \(r\) Stücke dagegen innerhalb dieser Grenzen liegen, während die übrigen wieder willkürlich bleiben; 3. \(p\) zuvor gewählte grösser als \(b\) sind, \(r\) Stücke aber innerhalb der Grenzen \(a\) und \(b\) \((a<b)\) liegen, und andere ähnliche Fälle.