Criticism of a formula of Gauss (Q1531913)

In seiner ``Theorie der Beobachtungsfehler'' S. 312-317 (vergl. das obige Referat (JFM 23.0235.02)) hatte der Verf. im Anschluss an Hrn. Bertrand Bedenken gegen die von Gauss zur Berechnung des mittleren Fehlers vermittelnder und bedingter Beobachtungen gegebene Formel erhoben, indem er behauptete, dass sie nicht den günstigsten, d.h. den mit dem kleinsten mittleren Fehler behafteten Ausdruck für den mittleren Fehler \(m\) zu bilden brauche. Dieses wurde überdies an einem ausführlich behandelten Beispiel nachgewiesen. Die Richtigkeit dieser Entwickelung vorausgesetzt, würde sie einen gewichtigen Einwand gegen die Gauss'sche Theorie darbieten. Der Verf. hatte jedoch, ebenso wie Hr. Bertrand, den Fehler gemacht, dass er die Unsicherheit der Gauss'schen Formel für \(m\) nach dem absoluten, zufälligen Betrag ihres mittleren Fehlerquadrats, indem er es als Function der Fehler oder der Widersprüche darstellte, anstatt im Verhältnis zu \(m^2\) selbst beurteilte. In der vorliegenden Mitteilung wird dieser Irrtum berichtigt und zugleich, wenn auch zunächst nur für den Fall zweier Bedingungsgleichungen, gezeigt, dass die Gauss'sche Formel in der That die günstigste Bestimmung des mittleren Fehlers liefert. Von andern Gesichtspunkten ausgehend, hatte übrigens unter Voraussetzung des Gauss'schen Fehlergesetzes Hr. Pizzetti schon früher für vermittelnde Beobachtungen nachgewiesen, dass von allen Formen, die man dem gesuchten mittleren Fehler a posteriori geben kann, die von Gauss aufgestellte die wahrscheinlichste ist (s. F. d. M. XXI. 1889. 222, JFM 21.0222.01).