On the theory of errors. An attempt at a stronger foundation for the same Zur Fehlertheorie. Ein Versuch zur strengeren Begründung derselben. (Q1531914)

Nach des Verfassers Ansicht ermangelt die Fehlertheorie noch einer unanfechtbaren Grundlage, während die Ausgleichungsrechnung in der Methode der kleinsten Quadrate eine solche besitze. Es wird gezeigt, dass die Ableitung des Fehlergesetzes, wie sie von Gauss auf Grund der Hypothese des arithmetischen Mittels gegeben ist, fehlerhaft sei und auf Widersprüche führe, und dass auch die Entwickelungen von Laplace und Hagen auf Grund der Annahme einer sehr grossen Anzahl von Fehlerelementen mangelhaft sei, weil sie Fehlerelemente mit dem Werte 0 nicht berücksichtigen. Nebenbei bemerkt, sind diese Einwände, insbesondere der gegen den Gauss'schen Beweis erhobene, natürlich hinfällig und beruhen auf Missverständnissen. Zu einer ``strengen'' Ableitung des Fehlergesetzes macht der Verf. folgende Annahmen: Ist \(n\) der Maximalwert eines Fehlers, so sei \[ n= \nu d \varDelta, \] wo \(\nu\) eine sehr grosse Zahl und \(d \varDelta\) der absolute Wert eines unendlich kleinen Fehleratoms ist. Alle \(\nu\) Fehleratome sind nun fortwährend in unregelmässig und beliebig geschwinder schwingender Bewegnung, wobei indess jedes einzelne nur die vier Werte \(+d \varDelta\), \(+0\), \(-0\), \(-d \varDelta\) einzunehmen befugt sein soll. Die Grösse eines Fehlers \(\varDelta\) ist die algebraische Summe der Fehleratome im Momente der Beobachtung. Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers \(\varDelta\) ist dann das Verhältnis aller der Fälle, die die Summe \(\varDelta\) liefern, zu der Anzahl \(4^\nu\) aller möglichen Fälle. Unter diesen Voraussetzungen und nach mancherlei Transformationen und Vernachlässigungen findet der Verf. schliesslich für ``die Wahrscheinlichkeit des Vorkommens eines Fehlers gleich \(\varDelta\) in aller Strenge'' die Formel: \[ \varOmega = \frac C {\sqrt \pi}\;e^{-h^2 \varDelta^3 - \frac 3 {20} h^2 \varDelta^2 (\frac \varDelta n)^2 - \frac 2 {35} h^2 \varDelta^2 (\frac \varDelta n)^4 - \frac 5 {168} h^2 \varDelta^2 (\frac \varDelta n)^6 - \cdots} d \varDelta, \] wo \(C\) durch die Gleichung \[ \int_{-\infty}^{+\infty} \varOmega = 1 \] bestimmt ist. Für die Constante \(C\) wird noch der angenäherte Wert abgeleitet: \[ \begin{aligned} & C = h \sqrt {1+ \varrho \theta},\\ & \theta = 1+ \tfrac 3 {20} + \tfrac 2 {35} + \tfrac 5 {168} + \cdots,\\ & 0 < \varrho < 1.\end{aligned} \] Ref. möchte trotz des selbstbewussten Auftretens des Verf. bezweifeln, dass nunmehr wirklich die ``unanfechtbare Grundlage'' der Fehlertheorie geschaffen sei.