On Taylor's formula. (Q1531936)

Der Verfasser definirt die Taylor'sche Reihe unabhängig von der Convergenz in folgender Weise. Es sei \(f(x)\) eine reelle Function der reellen Veränderlichen \(x\) und convergire gegen \(a_0\) für \(x=0\); ferner convergire \([f(x)-a_0]:x\) gegen \(a_1\) für \(x=0\); ausserdem convergire \[ \frac {f(x)-a_0} x - a_1 \] gegen \(a_2\) für \(x=0\) u.s.w. Es soll demnach die Formel \[ f(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots \] bedeuten, dass \[ \lim_{x=0} \frac {f(x) - a_0 - a_1 x - a_2 x^2 - \cdots - a_{n-1} x^{n-1}} n = a_n \] oder dass \[ f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \alpha x^n, \quad {\text{wo}} \quad \lim_{x=0} \alpha = 0. \] Unter dieser Voraussetzung werden dann die Sätze über die Summe zweier Reihen, ihr Product, ihren Quotienten, u.a. bewiesen.