On multinomial coefficients. (Q1531954)

Es sei \(m\) eine Primzahl und \(n\) eine beliebige ganze Zahl, welche im System von der Basis \(m\) mit den Ziffern \(a_0, a_1, \dots, a_k\) geschrieben wird (so dass also \[ n = \sum_{t=0}^k a_tm^t \] ist); dann ist der Exponent der höchsten Potenz von \(m\), welche in \(n!\) enthalten ist, gleich \[ \frac {n - \sum_{t=0}^k a_t} {m-1} \cdot \] Sind \(b_1, b_2, \dots, b_s\) ganze Zahlen, von denen auch einige Null sein können, und für welche \[ \sum_{u=1}^s b_u = n \] ist, bezeichnet \(c_{u,t}\) die \((t+1)^{\text{te}}\) Ziffer von \(b_u\), so dass \[ b_u = \sum_{t=0}^k c_{u,t}m^t \quad (u = 1, 2, \dots, s) \] ist, bedeuten endlich \(l_0, l_1, l_2, \dots, l_{k-1}\) die grössten Ganzen, welche bezüglich in \[ \frac {\sum_{u=1}^s c_{u,0}} m, \;\frac {l_0 + \sum_{u=1}^s c_{u,1}} m, \;\frac {l_1 + \sum_{u=1}^s c_{u,2}} m, \;\dots, \;\frac {l_{k-1} + \sum_{u=1}^s c_{u,k}} m \] enthalten sind, so ist der Exponent der höchsten Potenz von \(m\), welche in dem Binominalcoefficienten \[ \frac {n!} {\prod_{u=1}^s b_u!} \] enthalten ist, gleich \(l_0 + l_1 + l_2 + \cdots + l_{k-1}\). Endlich wird die notwendige und hinreichende Bedingung dafür angegeben, dass dieser Binominalcoefficient nicht durch \(m\) teilbar sei, und es werden noch einige weitere Sätze abgeleitet.